动态规划-背包问题降维以及衍生的硬币问题

任何动态规划核心就是划分子问题，然后就是状态转移方程。中间求出来的子问题的解需要存储起来。

0-1 背包问题：

0-1 背包问题解决的是物品只能够选择1次要不就不选，在背包能够装得下的前提下面，能够保证装的价值最大：
状态转移方程 f[i][j] = max{ f[i-1][j] , f[i-1][j - wi] +vi }; 0≤j - wi≤j
用二维的空间来表示是比较简单的
一维表示：f[v] 表示 f[i][v] , 那么由于上面的这个公式： f[i][j] = max{ f[i-1][j] , f[i-1][j - wi] +vi }; 
可以发现f[i][j] 的值只是和f[j-1][j] , 和f[i-1][j-wi] ，如果我们写出如下的代码：

for(int i = 0 ; i < n ; i++){
    for(int j = m ; j >=0  ; j--){
        vec[j] = max(vec[j] , vec[j-w[i]]+v[i] );
    }
}
那么对于i = N 的情况，我们计算 vec [j] 时， 由于j-wi < j ,那么vec[j-w[i]]的值会在vec[j]后参与计算，所以，在计算vec[j ] 的时候，我们先读取到的vec[j] 实际上是vec[N-1][j] , 读取到的 vec[j-w[i]]实际上是vec[N-1][j-w[i]]，所以可以用上面的公式进行简化。

完全背包问题

完全背包问题中每个物品都可以选择无限多次



从上面的公式中可以看出来，f（i　,　j）只会和f（i-1, j ）还有f（i,j-wi）两个变量有关，外层的ｉ是从０开始累加的，我们考虑ｉ＝ｎ的这次循环情况。此时，ｊ将会从０开始累加，那么，我们计算f(　j )的步骤如下 :  
首先读取到的f( j ) , 一定是f( ｎ-1 , j )　（因为我们的外层计算中的 i 是从０开始加的）
然后我们会读取ｆ（ｊ－ｗｉ），因为这个ｊ－ｗｉ＜ｊ，　所以ｆ（ｉ－ｗｉ）的值已经经过了计算，表示的是ｆ（ｎ，ｊ－ｗｉ）
到这里，我们只需要将f( j )和ｆ（ｊ－ｗｉ）取ｍａｘ，求出来的值用来更新ｆ（ｊ），此时的ｆ（ｊ）就是ｆ（ｎ，ｊ）了。至此，二维空间将为一维。
生成代码就是
for(int i = 0 ; i < n ; i++){
    for(int j = 0 ; j < m ; j++){
        vec[j] = max(vec[j] , vec[j-w[i]]+v[i] );
    }
}

硬币问题：

硬币问题和完全背包问题类似，原题是这样的：有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱，有多少中组合可以组成n分钱？
采用动态规划的思路，ｆ（ｉ，ｊ）表示的是可以取的０，１，．．．，ｉ种硬币的情况下，凑够ｊ元一共有多少种方法。
递推公式以及相应的一维如何推导为二维如下：



降维原因和完全背包类似。