BZOJ3612 [Heoi2014]平衡

题意：从[-n, n]的整数中选出k个，使得他们的和为0，求方案数。1 <= n <= 10000，1 <= k <= 10.

分析：

冥想后，认为这大概是一个整数划分数问题。

不过这道题的整数划分数有些不一样，所以我们需要自己推导状态转移方程。

设f(i, j)表示把i分成j个不同的且<= n的整数的方案数。

考虑一般的整数划分数问题，f(i, j) = f(i-1, j-1) + f(i-j, j)，其中第一项表示新填一个1，第二项表示把所有数都加1。

顺着这个思路，我们先考虑“不同”这个限制。

显然我们不能直接新填一个1，所以我们考虑把所有数加1，搞出来一个1，第一项得出为f(i-j, j-1)

第二项同样为f(i-j, j).

所以状态转移方程为f(i, j) = f(i-j, j) + f(i-j, j-1).

再考虑不能超过n这个限制，如果有超过n的数，显然它只有一个，而且是n+1，所以我们把这些情况减掉，即f(i-n-1, j-1).

统计答案时，考虑选了0和不选0，两种情况，并特判k=1.

#include <cstdio>

int T,n,k,p,ans,f[100005][15];

int main() {
scanf("%d", &T);
while(T--) {
scanf("%d%d%d", &n, &k, &p);
ans = 0, f[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= (n*2-k/2+1)*k/4; i++)
for(int j = 1; j <= k; j++) {
if(i >= j) f[i][j] = (f[i-j][j]+f[i-j][j-1])%p;
if(i >= n+1) f[i][j] = (f[i][j]-f[i-n-1][j-1]+p)%p;
}
for(int i = 1; i <= (n*2-k/2+1)*k/4; i++)
for(int j = 1; j < k; j++)
ans = (ans+f[i][j]*f[i][k-j])%p;
for(int i = 1; i <= (n*2-k/2+1)*k/4; i++)
for(int j = 1; j < k-1; j++)
ans = (ans+f[i][j]*f[i][k-1-j])%p;
printf("%d\n", ans + (k==1));
}
return 0;
}