完全平方数 [Bzoj 2440，中山市选2011]

题目地址——

完全平方数

【题目描述】

小 X 自幼就很喜欢数。

但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。

他觉得这些数看起来很令人难受。

由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。

然而这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。

当然他不能送一个小X讨厌的数。

他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了小X。

小X很开心地收下了。

然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。

你能帮他一下吗？

【输入描述】

包含多组测试数据。

文件第一行有一个整数 T，表示测试数据的组数。

第 2 至第 T+1 行每行有一个整数 Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

【输出描述】

含 T 行，分别对每组数据作出回答。

第 i 行输出相应的第 Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

【样例输入】

4

1

13

100

1234567

【样例输出】

1

19

163

2030745

【Solution】

首先二分答案。

将问题转化为判断 x 以内有多少个不讨厌的数。

设 f(d) 表示 d 以内有多少个不讨厌的数，则f(d)=∑i=1d√μ(i)⋅(di2)

【Code】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

#define LL long long
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))

using namespace std;

int T;
LL n,ans=1e+10;
LL maxn=1e+5;
LL nxt[100010];
short miu[100010];
LL prime[100010];
bool no_prime[100010];

bool judge(LL x){
LL sqr=sqrt(x),tmp=0;
for(LL i=1;nxt[i]<=sqr;i++)tmp+=miu[nxt[i]]*(x/(nxt[i]*nxt[i]));
return tmp>=n;
}

int main(){

scanf("%d",&T);

miu[1]=1;

for(LL i=2;i<=maxn;i++){
if(!no_prime[i]){
prime[++prime[0]]=i;
miu[i]=-1;
}
for(LL j=1;prime[j]*i<=maxn;j++){
no_prime[prime[j]*i]=true;
if(i%prime[j]==0){
miu[prime[j]*i]=0;
break;
}
miu[prime[j]*i]=-miu[i];
}
}

for(LL i=1;i<=maxn;i++)if(miu[i]!=0)nxt[++nxt[0]]=i;

while(T--){
scanf("%lld",&n);
LL l=1,r=2*n;
ans=1e+10;
while(l<=r){
LL mid=(l+r)/2;
if(judge(mid)){
ans=Min(ans,mid);
if(r==mid-1)break;
r=mid-1;
}
else{
if(l==mid+1)break;
l=mid+1;
}
}
printf("%lld\n",ans);
}

return 0;
}