能量采集 [Bzoj 2005,Noi2010]
2016-06-05 09:25
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在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐,一共有 n 列,每列有 m 棵,植物的横竖间距都一样。
因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标 (x,y) 来表示。
其中 x 的范围是 1 至 n,表示是在第 x 列, y 的范围是 1 至 m,表示是在第 x 列的第 y 棵。
由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是 (0,0) 。
能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。
如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有 k 棵植物,则能量的损失为 2k+1 。
例如,当能量汇集机器收集坐标为 (2,4) 的植物时,由于连接线段上存在一棵植物 (1,2),会产生 3 的能量损失。
注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为 1 。
现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子,其中 n=5,m=4,一共有 20 棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
![](https://img-blog.csdn.net/20160605091943864)
在这个例子中,总共产生了 36 的能量损失。
对于 50% 的数据:1≤n, m≤100;
对于 80% 的数据:1≤n, m≤1000;
对于 90% 的数据:1≤n, m≤10,000;
对于 100% 的数据:1≤n, m≤100,000 。
根据莫比乌斯反演公式,
f(d)=∑d|iμ(id)⋅⌊ni⌋⋅⌊mi⌋
∴ans=∑i=1Min(n,m)f(i)⋅i
能量采集
【题目描述】
栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后,栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。
栋栋的植物种得非常整齐,一共有 n 列,每列有 m 棵,植物的横竖间距都一样。
因此对于每一棵植物,栋栋可以用一个坐标 (x,y) 来表示。
其中 x 的范围是 1 至 n,表示是在第 x 列, y 的范围是 1 至 m,表示是在第 x 列的第 y 棵。
由于能量汇集机器较大,不便移动,栋栋将它放在了一个角上,坐标正好是 (0,0) 。
能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。
如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有 k 棵植物,则能量的损失为 2k+1 。
例如,当能量汇集机器收集坐标为 (2,4) 的植物时,由于连接线段上存在一棵植物 (1,2),会产生 3 的能量损失。
注意,如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物,则能量损失为 1 。
现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子,其中 n=5,m=4,一共有 20 棵植物,在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
在这个例子中,总共产生了 36 的能量损失。
【输入描述】
仅包含一行,为两个整数 n 和 m。【输出描述】
仅包含一个整数,表示总共产生的能量损失。【样例输入 1】
5 4【样例输出 1】
36【样例输入 2】
3 4【样例输出 2】
20【数据规模和约定】
对于 10% 的数据:1≤n, m≤10;对于 50% 的数据:1≤n, m≤100;
对于 80% 的数据:1≤n, m≤1000;
对于 90% 的数据:1≤n, m≤10,000;
对于 100% 的数据:1≤n, m≤100,000 。
【Solution】
设 f(d) 为满足 x<=n,y<=m 且 gcd(x,y)=d 的个数。根据莫比乌斯反演公式,
f(d)=∑d|iμ(id)⋅⌊ni⌋⋅⌊mi⌋
∴ans=∑i=1Min(n,m)f(i)⋅i
【Code】
#include <iostream> #include <cstdio> #define LL long long #define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) using namespace std; LL n,m,ans; bool no_prime[100010]; LL prime[100010]; int miu[100010]; int main(){ scanf("%lld%lld",&n,&m); if(n>m)swap(n,m); miu[1]=1; for(LL i=2;i<=m;i++){ if(!no_prime[i]){ prime[++prime[0]]=i; miu[i]=-1; } for(LL j=1;prime[j]*i<=m;j++){ no_prime[prime[j]*i]=true; if(i%prime[j]==0){ miu[prime[j]*i]=0; break; } miu[prime[j]*i]=-miu[i]; } } for(LL i=1;i<=m;i++){ LL tmp=0; while(1){ tmp++; LL rk=tmp*i,sum=0; if(rk>n)break; sum+=(n/rk)*(m/rk); ans=ans+miu[tmp]*sum*i; } } printf("%lld\n",2*ans-m*n); return 0; }
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