能量采集 [Bzoj 2005，Noi2010]

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能量采集

【题目描述】

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。

在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有 n 列，每列有 m 棵，植物的横竖间距都一样。

因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标 (x,y) 来表示。

其中 x 的范围是 1 至 n，表示是在第 x 列， y 的范围是 1 至 m，表示是在第 x 列的第 y 棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是 (0,0) 。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。

如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有 k 棵植物，则能量的损失为 2k+1 。

例如，当能量汇集机器收集坐标为 (2,4) 的植物时，由于连接线段上存在一棵植物 (1,2)，会产生 3 的能量损失。

注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为 1 。

现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中 n=5，m=4，一共有 20 棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。



在这个例子中，总共产生了 36 的能量损失。

【输入描述】

仅包含一行，为两个整数 n 和 m。

【输出描述】

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

【样例输入 1】

5 4

【样例输出 1】

36

【样例输入 2】

3 4

【样例输出 2】

20

【数据规模和约定】

对于 10% 的数据：1≤n, m≤10；

对于 50% 的数据：1≤n, m≤100；

对于 80% 的数据：1≤n, m≤1000；

对于 90% 的数据：1≤n, m≤10,000；

对于 100% 的数据：1≤n, m≤100,000 。

【Solution】

设 f(d) 为满足 x<=n，y<=m 且 gcd(x,y)=d 的个数。

根据莫比乌斯反演公式，

f(d)=∑d|iμ(id)⋅⌊ni⌋⋅⌊mi⌋

∴ans=∑i=1Min(n,m)f(i)⋅i

【Code】

#include <iostream>
#include <cstdio>

#define LL long long
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))

using namespace std;

LL n,m,ans;
bool no_prime[100010];
LL prime[100010];
int miu[100010];

int main(){

scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(n>m)swap(n,m);

miu[1]=1;
for(LL i=2;i<=m;i++){
if(!no_prime[i]){
prime[++prime[0]]=i;
miu[i]=-1;
}
for(LL j=1;prime[j]*i<=m;j++){
no_prime[prime[j]*i]=true;
if(i%prime[j]==0){
miu[prime[j]*i]=0;
break;
}
miu[prime[j]*i]=-miu[i];
}
}

for(LL i=1;i<=m;i++){
LL tmp=0;
while(1){
tmp++;
LL rk=tmp*i,sum=0;
if(rk>n)break;
sum+=(n/rk)*(m/rk);
ans=ans+miu[tmp]*sum*i;
}
}
printf("%lld\n",2*ans-m*n);

return 0;
}