【HDU】 1452 Happy 2004

Happy 2004

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Happy 2004

题目大意

求2004n的所有因子和mod 29的值。

题解

这一题如果知道一个数的因子和S(n)是积性函数的话就非常简单，直接分解并进行计算就行了，可是如果不知道呢？其实提公因式也可以。

首先我们将2004n质因子分解

2004n=22n∗3n∗167n

现在如果我们对2004的所有因子求和，我们得到的肯定是这样的：

S(2004n)=20301670+20301671+...+22n3n167n

总共(2n+1)(n+1)2项，我们先考虑2和3的次方都是0的情况，我们将其求和，发现

20301670+20301671+...+2030167n=2030(1670+1671+...+167n)

后面是一个等比数列求和。因为我们没有考虑2和3的次方，所以还是有很多其他项的，如果我们现在将3的次方考虑进来，我们又会发现（sum(167)=1670+1671+...+167n）

2030sum(167)+2031sum(167)+...+203nsum(167)=20sum(3)sum(167)

同理，我们如果也把2的次方考虑进来的话，这个式子就完全变成了这样

sum(2)sum(3)sum(167)=S(2004n)

跟用积性函数得到的结果一模一样，可以说是证明了这个极性吧。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define mod 29

using namespace std;

int x;

int pow_mod(int a,int k)
{
int ans=1;
while(k)
{
if (k&1) ans=(a*ans)%mod;
k>>=1;
a=(a*a)%mod;
}
return ans;
}

int main()
{
while(scanf("%d",&x),x)
{
int sum1,sum2,sum3,ans;
sum1=pow_mod(2,2*x+1)-1;
sum2=((((pow_mod(3,x+1)-1)%mod+mod)%mod)*pow_mod(2,mod-2))%mod;
sum3=((((pow_mod(167,x+1)-1)%mod+mod)%mod)*pow_mod(166,mod-2))%mod;
ans=(sum1*sum2*sum3)%mod;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}