BSG白山极客挑战赛D 解题报告

这题关键当然就在那个非常神的性质。

其实，对于一棵树来说，我们在上面随便找一个点（可以是边上的点任意一点），也就是可以选无穷多个点，那么距离这个点最远的点一定是一条直径的一端。且任意一条直径都存在一个端点是距离这个点最远的点。

我们考虑距离任意一点x最远的点y，假设有一条直径是(a,b)。（下面我们用(a,b)来表示两点之间的路径，用|(a,b)|来表示这条路径的长度）。

那么我们分两种情况考虑。

如果(a,b)∩(x,y)=∅，如图。因为y距离x最远，所以|(d,y)|≥|(d,a)|,|(d,y)|≥|(d,b)|；因为(a,b)是直径，所以|(b,c)|≥|(c,y)|,|(a,c)|≥|(c,y)|，所以|(d,y)|≥|(b,d)|>|(b,c)|≥|(c,y)|>|(d,y)|，产生了矛盾，所以这种情况其实是不存在的。

如果(a,b)∩(x,y)≠∅，如图。因为y距离x最远，所以|(d,y)|≥|(d,b)|，因为(a,b)是直径，所以|(d,y)|≤|(d,b)|，所以|(d,y)|=|(d,b)|。即(a,y)也是一条直径。



根据这个性质就有一个经典的找直径的算法，就是随便找一个点找离它最远的点，那么它必然是一条直径的一端，而离它最远的点就是直径的另一端了，所以只需要两边dfs/bfs即可。

那么这一题需要说明的是对于两个点集S、T，任选x∈S,y∈T，则距离最远的(x,y)中存在y∈{a,b}((a,b)是T的一条直径)，那么对称的x也一样。

其实在S中任选一个点x出发，设其在T中距离最远的点为y，(x,y)上最靠近x的存在于T中两点路径上的点为z。那么y显然必须是离z最远的点，而根据上面的分析，一条直径必然有一个端点是离z最远的点。

那么这个问题就变成了求出一段区间的直径，题解说是可以用线段树O(logn)预处理，O(1)查询，我表示完全没看懂。。

我的做法是先用st表预处理出lca，因为合并两个区间的时候显然需要O(1)查询两点距离什么的。然后再用st表预处理出长为2i的区间的直径。时间复杂度O(6nlogn)−O(6m)。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<algorithm>
void in(int &x){
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
for(x=0;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+(c^'0');
}
const int N=1e5+5;
int next[N<<1],succ[N<<1],w[N<<1],ptr
,etot=1;
void addedge(int from,int to,int wt){
next[etot]=ptr[from],ptr[from]=etot,succ[etot]=to,w[etot++]=wt;
}

const int Log=18;
int fa
,depth
;
int d[N<<1],dfn
;
int Min(const int &a,const int &b){
return depth[a]<depth[b]?a:b;
}
int dtot=1;
int dis
;
int stack
,cur
;
void dfs(){
stack[0]=1;
depth[1]=1;
for(int top=1,node;top--;){
node=stack[top];
//printf("-----%d----\n",node);
if(cur[node]!=ptr[node]){
d[dtot]=node;
dfn[node]=dtot++;
}
if(cur[node]){
++top;
if(succ[cur[node]]!=fa[node]){
depth[succ[cur[node]]]=depth[node]+1;
dis[succ[cur[node]]]=dis[node]+w[cur[node]];
fa[succ[cur[node]]]=node;
stack[top++]=succ[cur[node]];
}
cur[node]=next[cur[node]];
}
}
}
int lca[Log][N<<1];
int lg[N<<1];
int querydis(int a,int b){
if(dfn[a]>dfn[b])swap(a,b);
int tmplg=lg[dfn[b]-dfn[a]+1],x=Min(lca[tmplg][dfn[a]],lca[tmplg][dfn[b]-(1<<tmplg)+1]);
//printf("Min%d:(%d,%d)\n",tmplg,dfn[a],dfn[b]-(1<<tmplg)+1);
//printf("dis(%d,%d),%d=%d\n",a,b,x,dis[a]+dis[b]-(dis[x]<<1));
return dis[a]+dis[b]-(dis[x]<<1);
}
struct AS{
int a[2];
}st[Log]
;
AS merge(const AS & u,const AS &v){
int maxdis=querydis(u.a[0],u.a[1]),tmp;
AS ans=u;
if((tmp=querydis(v.a[0],v.a[1]))>maxdis){
maxdis=tmp;
ans=v;
//printf("Get:%d\n",maxdis);
}
for(int i=2;i--;)
for(int j=2;j--;)
if((tmp=querydis(u.a[i],v.a[j]))>maxdis){
maxdis=tmp;
ans=(AS){u.a[i],v.a[j]};
}
//printf("merge((%d,%d),(%d,%d))=(%d,%d)\n",u.a[0],u.a[1],v.a[0],v.a[1],ans.a[0],ans.a[1]);
return ans;
}
AS query(int l,int r){
int tmplg=lg[r-l+1];
//printf("[%d,%d]\n",l,r);
//printf("merge(%d,(%d,%d))\n",tmplg,l,r-(1<<tmplg)+1);
//printf("%d %d\n",st[tmplg][l].a[0],st[tmplg][l].a[1]);
return merge(st[tmplg][l],st[tmplg][r-(1<<tmplg)+1]);
}
int main(){
freopen("51noded.in","r",stdin);
//freopen("51noded.out","w",stdout);
int n;
in(n);
int x,y,z;
for(int i=n;--i;){
in(x),in(y),in(z);
addedge(x,y,z),addedge(y,x,z);
}

dtot=1;
for(int i=n;i;--i)cur[i]=ptr[i];
dfs();

//cout<<dfn[65536]<<endl;
//cout<<d[68211]<<endl;
/*puts("----dfn----");
for(int i=1;i<dtot;++i)printf("%d ",d[i]);
puts("");*/

//cout<<d[68211]<<endl;
for(int i=dtot;--i;)lca[0][i]=d[i];
for(int i=1,j=0;i<dtot;++i){
lg[i]=j;
if(i==1<<j+1)++j;
}
//cout<<lca[0][68211]<<endl;
for(int j=1;j<Log;++j)
for(int i=dtot-(1<<j);i>0;--i)
lca[j][i]=Min(lca[j-1][i],lca[j-1][i+(1<<j-1)]);

/*for(int j=0;j<Log;++j)
for(int i=dtot-(1<<j);i>0;--i)
printf("lca(%d,%d)=%d\n",j,i,lca[j][i]);*/

for(int i=1;i<=n;++i)st[0][i]=(AS){i,i};
for(int j=1;j<Log;++j)
for(int i=n-(1<<j)+1;i>0;--i)
st[j][i]=merge(st[j-1][i],st[j-1][i+(1<<j-1)]);
//printf("%d %d\n",st[15][1].a[0],st[15][1].a[1]);
//printf("%d %d\n",st[0][65895].a[0],st[0][65895].a[1]);
//printf("%d %d\n",st[0][65896].a[0],st[0][65896].a[1]);
//cout<<Min(lca[0][68211],lca[0][68211])<<endl;
//testquery(65895,65895);

int m;
in(m);
int a,b,c,d;
AS s,t;
while(m--){
in(a),in(b),in(c),in(d);
s=query(a,b),t=query(c,d);
//printf("s=%d,%d\n",s.a[0],s.a[1]);
//printf("t=%d,%d\n",t.a[0],t.a[1]);
int maxdis=0;
for(int i=2;i--;)
for(int j=2;j--;)
maxdis=max(maxdis,querydis(s.a[i],t.a[j]));
printf("%d\n",maxdis);
}
}

总结：

①一定要记得检查数组大小！

②对于树T的任意一条直径(a,b)，∀x∈T，必然有max(|(a,x)|,|(b,x)|)≥max{|(x,y)}(∀y∈T).