Hard-题目12：115. Distinct Subsequences

题目原文：

Given a string S and a string T, count the number of distinct subsequences of T in S.

A subsequence of a string is a new string which is formed from the original string by deleting some (can be none) of the characters without disturbing the relative positions of the remaining characters. (ie, “ACE” is a subsequence of “ABCDE” while “AEC” is not).

Here is an example:

S = “rabbbit”, T = “rabbit”

Return 3.

题目大意：

给出一个字符串s和t，其中t是s的子串，求出删除s中字符得到t的不同删除方法。（或者理解为从s中取出t的不同取法。）

例如S=”rabbbit”,T=”rabbit”

其中S中的3个b取出两个得到T，有C(3,2)=3种取法，返回3.

题目分析：

因为可以看做是S中部分串取出得到T中部分串的子问题，所以想到用dp。

构建dp数组，其中dp[i][j]表示s[0..i]取出t[0..j]字符的方法数。那么首先考虑初始化：

dp[0][0]显然等价于s[0]==t[0],而先初始化j=0的情况，因为这时只有一个字符，扫描s，只要s[i]==t[0]，则取出的方法数+1，否则不变（很好理解，因为多出的字符与t[0]不一样，这个多出的字符没有任何意义）。

接下来从j=1（2个字符）开始考虑转移方程：

如果s[i]==t[j],那么这个多出来的t[j]的来源有两种情况，一是取自s[i],那么只要从s[0…i-1]取出t[0…j-1]即可，二是不取s[i],那么相当于从s[0…i-1]取出t[0…j]，故这种情况下的转移方程为

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j];

如果s[i]!=t[j]，那么这个多出来的s[i]对取出t[0…j]没有任何贡献，还是要从s[0…i-1]中去寻找，故

dp[i][j]=dp[i-1][j]

.剩下的就是对一些特殊的边界情况讨论。例如s.length<=t.length。

源码：（language：java）

public class Solution {
public int numDistinct(String s, String t) {
int slen = s.length(),tlen = t.length();
if(slen<tlen)
return 0;
else if(slen == tlen)
return s.equals(t)?1:0;
else {
int[][] dp = new int[slen][tlen];
dp[0][0] = s.charAt(0)==t.charAt(0)?1:0;
for(int i = 1;i<slen;i++) {
if(s.charAt(i)==t.charAt(0))
dp[i][0] = dp[i-1][0]+1;
else
dp[i][0] = dp[i-1][0];
}
for(int j = 1;j<tlen;j++) {
for(int i = j;i<slen;i++) {
if(s.charAt(i) == t.charAt(j))
dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1];
else
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
return dp[slen-1][tlen-1];
}
}
}

成绩：

16ms,beats 62.01%,众数20ms,14.82%

Cmershen的碎碎念：

这是一个非常典型的DP问题，而我一开始考虑复杂了，因为我是基于组合数公式C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)做的，还增加了对s[i]和t[j]是否存在的考虑，但其实没有必要。因为如果t[j]出现了s中没出现过的字符，自然前一项也为0了。