动态规划总结

动态规划，在多阶段问题的解决中，最重要的就是注意前一种状况，对于当前状态的影响。像最长上升子序列问题等，这些比较典型的题目，应该认真学习掌握。

对于0-1背包问题，普通的0-1背包，题目比较典型。就是对于N件物品，以及容量为V的背包，放入的物品费用为c[i]，价值为W[i],求解装入背包物品的价值最大。

思路很明确，N件物品，可以放也可以不放，设置一个二维数组，状态方程套模板即可，f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。这里要注意的是，for循环第二次循环要由大到小。

完全背包，是在0-1背包的基础上，每件物品的数量为无限。简单优化：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]，并且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。

将费用大于V的物品去掉，转化为0-1背包：考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个0-1背包问题。

模板为：for i=1..N

             for v=0..V

                    f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0=<k<=V/c[i]}

多重背包，对每种物品的数量有一定限制。掌握了0-1背包，及完全背包，多重背包就是在两者的基础上的改变。

分组背包，有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

其状态方程为：f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k} ，f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值 。

在动态规划的问题上，就问题而言，都有比较典型的模板，不过在实际解决中，还是应多练习，很多与背包问题，等看似无关的题目，其实深入分析之后，完全可以转化为背包，模板套用，代码并不困难。