BZOJ 2818: Gcd区间内最大公约数 为素数的对数(欧拉函数的应用)
2016-05-31 20:48
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2818: Gcd
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Submit: 3649 Solved: 1605
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Description
给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.
Input
一个整数N
Output
如题
Sample Input
4
Sample Output
4
HINT
hint
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)
1<=N<=10^7
Source
湖北省队互测
解题思路:
这个题是让求的<=n的GCD(x,y)==素数的个数(2,4)和(4,2)认为是不一样的,那么我们可以想到枚举每一个素数,让其GCD(x,y)=p,那么我们可以想到在[1,y/p]内与y/p互素的个数(在这里默认 y>x),那么我们就是求一个欧拉函数值,那么我们将其扩展到1-n区间内,就是求[1,n/p]的欧拉函数值,但是我们需要求的是sigmaEualr(n/p)的前缀和,因为y是从1-n之间取的,所以对数就是sum[n/p]*2-1,因为是对数,而且还有重复的情况(自身是素数的情况)
具体详见代码:
2818: Gcd
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Description
给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.
Input
一个整数N
Output
如题
Sample Input
4
Sample Output
4
HINT
hint
对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)
1<=N<=10^7
Source
湖北省队互测
解题思路:
这个题是让求的<=n的GCD(x,y)==素数的个数(2,4)和(4,2)认为是不一样的,那么我们可以想到枚举每一个素数,让其GCD(x,y)=p,那么我们可以想到在[1,y/p]内与y/p互素的个数(在这里默认 y>x),那么我们就是求一个欧拉函数值,那么我们将其扩展到1-n区间内,就是求[1,n/p]的欧拉函数值,但是我们需要求的是sigmaEualr(n/p)的前缀和,因为y是从1-n之间取的,所以对数就是sum[n/p]*2-1,因为是对数,而且还有重复的情况(自身是素数的情况)
具体详见代码:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> using namespace std; typedef long long LL; const LL MAXN = 1e7+5; bool prime[MAXN];///标记数组是不是素数 LL phi[MAXN];///欧拉函数值,i的欧拉函数值=phi[i] LL p[MAXN];///素因子的值 LL cnt = 0; void get_Phi()///筛法求欧拉函数 { cnt = 0; memset(prime, true, sizeof(prime)); phi[1] = 1; for(LL i=2; i<MAXN; i++)///线性筛法 { if(prime[i])///素数 { p[cnt++] = i; phi[i] = i-1;///素数的欧拉函数值是素数 - 1 } for(LL j=0; j<cnt; j++) { if(i*p[j] > MAXN) break; prime[i*p[j]] = false;///素数的倍数,所以i*p[j]不是素数 if(i%p[j] == 0)///性质:i mod p == 0, 那么 phi(i * p) == p * phi(i) { phi[i*p[j]] = p[j] * phi[i]; break; } else phi[i*p[j]] = (p[j]-1) * phi[i];///i mod p != 0, 那么 phi(i * p) == phi(i) * (p-1) } } } LL sum[MAXN];///前缀和 void get_sum() { memset(sum, 0, sizeof(sum)); for(LL i=1; i<MAXN; i++) sum[i] = sum[i-1]+phi[i]; } int main() { get_Phi(); get_sum(); LL n; while(~scanf("%lld",&n)) { LL ans = 0; for(LL i=0; i<cnt&&p[i]<=n; i++) { ans = ans+sum[n/p[i]]*2-1; } printf("%lld\n",ans); } return 0; }
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