算法复习：最大团问题（回溯法和分支限界法)

问题描述

给定无向图G=（V，E），V是顶点集，E是边集。如果U⊆V，且对任意u,v∈U有（u,v）∈E，u,v是两个顶点的符号，则称U是G的完全子图。G的完全子图U是G的一个团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。

2、一个例子



–子集{1,2}是G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}中。{1,2,5}、{1,4,5}和{2,3,5}都是G的最大团。

A 回溯法：

·问题空间（input）：

-G=（V，E）

·解空间（output）：

-图G的顶点集V的子集选取问题，Xi∈{0，1}

-约束函数：团的定义

-目标函数：所含顶点数最多

·解空间树（所有可能解的结构）：

-子集数（因为这是一个子集选取问题）

·搜索空间（最优解的求解过程）：

-约束函数 顶点i到已选入的顶点集中每一个顶点都有边相连。

-限界函数 有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右子树中找到更大的团。

下面是根据图构造出来的树（没有构造完，虚线的地方可以继续往下画，相应的下面的表也是）：



cn是当前顶点数，bestn是当前最大顶点数

下面的表是搜索过程：



Xi分别代表五个点，值为0代表没有选入顶点集U，值为1代表已选入顶点集U。

3、算法部分代码

int **a         //图G的邻接矩阵
int n           //图G的顶点数
int *x          //当前解
int *bestx      //当前最优解
int cn          //当前顶点数
int bestn       //当前最大顶点数

void MaxClique(int i)
{
if (i > n)      //到达叶节点，更新最优值和最优解
{
for (int j = 1;j <= n;j++)
bestx[j] = x[j];
bestn = cn;
return;
//搜索扩展节点时，检查顶点i与当前团的连接
}
int OK = 1;
for (int j = 1;j < i;j++)//扫描当前团

9e91
if (x[j] && a[i][j] == 0)//i与当前团的顶点j不相连
{
OK = 0;
break;
}
if (OK)//顶点i与当前团的每个顶点均有连接，进入左子树
{
x[i] = 1;//状态更新
cn++;
MaxClique (i + 1);
x[i] = 0;//输出叶节点后，搜索右子树之前的状态恢复（即回溯指搜索右子树）
cn--;
}
if (cn + n - i > bestn)//进入右子树
{
x[i] = 0;
MaxClique(i + 1);
}
}

4、算法效率

解最大团问题的回溯算法所需的计算时间为O（n2n)

B 分支限界法

优先队列式分支限界法

还是上面那题，图片再复制到这里



·解空间和解空间树都没变

·剪枝

-左子树：从顶点i到已选入的顶点集中每一个顶点都有边，否则剪枝

-右子树：顶点数上界小于当前最优值（就是上面的bestn）时剪枝

顶点数上界=已确定的顶点数+未确定的顶点数的上界

·优先队列中节点的优先级

-顶点数上界

解空间树如下：



现在懂节点上那两数字相加啥意思了吧

树搜索的过程如下表：



所以，这已经很明白了，回溯法求解搜索树是深度优先，先一条道走到底，再回溯找其他的看是不是比得到的最优，而分支限界是广度优先，一层一层往下找，中间不断排除不符合的，找到最下面一层就得到了最优解。