hiho_1068_RMQ_st算法
2016-05-29 22:53
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题目
给出一数组A,编号从1到n,然后进行q次查询,每次查询给出一个边界[beg, end],要求给出数组A中范围[beg, end]之内的最小值。题目链接: RMQ_ST
分析
区间问题使用线段树或者树状数组,可以达到查询复杂度为O(logN),其实对于RMQ(Range Maximum/Minimum Query)问题,使用 ST 算法可以达到O(1)复杂度的查询。维护一个动归数组 dp[i][j] 表示 数组A中从第i个开始连续2^j个数字中的最小值,则有转移方程
dp[i][j] = min{dp[i][j-1], dp[i + (1 << (j-1))][j-1]};
对于查询区间[beg, end], rmq(beg, end) = min{rmq(beg, k), rmq(end - (1 << k) + 1, k)}.
k为最大的满足 2^k <= (end - beg + 1)的值。
将[beg, end]分成两个相互覆盖的区间,左区间的起始为beg,右区间的终止为end,分别找到两个区间中的最小值min1和min2,取二者最小值即可。
中间实现的时候出现了 LTE, RE 等错误,LTE是因为计算2的幂次的时候没有使用位右移运算进行优化(衰);RE是因为在递推求dp数组的时候最后的位置没有注意到数组越界。
注意 dp[i][j] 覆盖的范围为 i + 2^j, 要满足 i + 2^j - 1 <= n!!!!!
实现
#include<iostream> #include<string.h> #include<iostream> #include<queue> #include<cmath> #include<unordered_map> #include<unordered_set> #include<string> #include<vector> using namespace std; const int inf = 1 << 29; const int kMax = 1000005; int dp[kMax][21]; //dp[i][j] 表示从第i个数开始,连续 2^j 个数字中的最小值 inline int min(int a, int b){ return a < b ? a : b; } int main(){ int n; scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++){ scanf("%d", &dp[i][0]); //直接读入dp数组初始化 } //边界值 for (int i = 0; i < 21; i++){ dp[0][i] = inf; } int len = log2(n); for (int j = 1; j <= len; j++){ // 2^j 的长度,按照长度从小到大进行动态规划的状态转移 for (int i = 1; (i + (1 << j) - 1) <= n; i++){ //注意 dp[i][j] 覆盖的范围为 i + 2^j, 要满足 i + 2^j - 1 <= n!!!!! dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << j - 1)][j - 1]); } } int q, beg, end, result; scanf("%d", &q); while (q--){ scanf("%d %d", &beg, &end); int k = log2(end - beg + 1); result = min(dp[beg][k], dp[end - (1 << k) + 1][k]); printf("%d\n", result); } return 0; }
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