重积分和线面积分总结
2016-05-29 21:20
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因为要准备省赛,所以要加强对算法的学习,但是我却以这为理由,放松了对高数、线代等其他学科的学习,现在看来,这是不理智的,因为“学习都是相通的”,搞算法也要有良好的基础,而且题目也有不少直接是高数的定理、公式,所以我悔悟了,准备好好对待各个学科,从高数走起。
重积分
一、二重积分的概念和性质
![](http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/9.1erchongjifen.files/image107.gif)
定义:二重积分是二元函数在平面区域上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。
这里面的基本概念我就不一一列举了,思想是“大化小,常代变,近似和,取极限”,这个思想到后面的线面积分都会一直用到。
性质:
1.积分可加性(满足数乘)——线性性质
2.区域可加性(分段可加性)
3.如果在D上,f(x,y)=1,面积为S
4.如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则
![](http://img.blog.csdn.net/20160710153036266?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center)
由于 -| f(x,y) |<=f(x,y)<=| f(x,y) |
得
![](http://img.blog.csdn.net/20160710153047369?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center)
5.设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值,σ为区域D的面积,
则
![](http://img.blog.csdn.net/20160710153052032?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center)
6.(二重积分的中值定理)
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,σ为区域的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得
![](http://img.blog.csdn.net/20160710153057103?watermark/2/text/aHR0cDovL2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQv/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/gravity/Center)
(部分公式直接从百度百科上扒的)
二、二重积分的计算法
1.利用直角坐标计算二重积分
先x后y
先y后x
2.利用极坐标计算二重积分
三、三重积分
定义:略。
性质(类比于二重积分,不再赘述)。
计算方法:
1.利用直角坐标计算三重积分
1.“先一后二”法(思想:穿刺投影)
2..“先二后一”法(两种方法最终都是要化成三次积分法的)
2.利用柱面坐标计算三重积分
3.利用球面坐标计算三重积分
四、重积分的应用
1.曲面的面积
2.质心
3.转动惯量
4.引力
曲线积分与曲面积分
一、对弧长的积分
曲线积分分为:对弧长的曲线积分 (第一类曲线积分)
对坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分)
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds;例如:对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy,例如:对L’的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义,通常说来都是正的,而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。(baidu
baike)
被积函数是1的话,积分结果是弧长。
定积分不可看做对弧长曲线积分的特例
性质:分段可加性、对称性、轮换对称性等等。
遵循“偶零奇倍”的原则
计算方法:
二、对坐标的曲线积分
三、格林公式及其应用
四、对面积的曲面积分
五、对坐标的曲面积分
六、高斯公式
七、斯托克斯公式
(待续……
重积分
一、二重积分的概念和性质
![](http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/9.1erchongjifen.files/image107.gif)
定义:二重积分是二元函数在平面区域上的积分,同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。
这里面的基本概念我就不一一列举了,思想是“大化小,常代变,近似和,取极限”,这个思想到后面的线面积分都会一直用到。
性质:
1.积分可加性(满足数乘)——线性性质
2.区域可加性(分段可加性)
3.如果在D上,f(x,y)=1,面积为S
∫∫dxdy=∫∫dS=S
4.如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则
由于 -| f(x,y) |<=f(x,y)<=| f(x,y) |
得
5.设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值,σ为区域D的面积,
则
6.(二重积分的中值定理)
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,σ为区域的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得
(部分公式直接从百度百科上扒的)
二、二重积分的计算法
1.利用直角坐标计算二重积分
先x后y
先y后x
2.利用极坐标计算二重积分
三、三重积分
定义:略。
性质(类比于二重积分,不再赘述)。
计算方法:
1.利用直角坐标计算三重积分
1.“先一后二”法(思想:穿刺投影)
2..“先二后一”法(两种方法最终都是要化成三次积分法的)
2.利用柱面坐标计算三重积分
3.利用球面坐标计算三重积分
四、重积分的应用
1.曲面的面积
2.质心
3.转动惯量
4.引力
曲线积分与曲面积分
一、对弧长的积分
曲线积分分为:对弧长的曲线积分 (第一类曲线积分)
对坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分)
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds;例如:对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy,例如:对L’的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义,通常说来都是正的,而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。(baidu
baike)
被积函数是1的话,积分结果是弧长。
定积分不可看做对弧长曲线积分的特例
性质:分段可加性、对称性、轮换对称性等等。
遵循“偶零奇倍”的原则
计算方法:
二、对坐标的曲线积分
三、格林公式及其应用
四、对面积的曲面积分
五、对坐标的曲面积分
六、高斯公式
七、斯托克斯公式
(待续……
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