分治算法主定理

分治算法主定理

分治算法通常遵守一种通用模式：即：在解决规模为n的问题时，总是先递归地求解a个规模为nb的子问题，然后在O(nd)时间内将子问题的解合并起来，其中a,b,d>0是一些特定的整数。分治算法的运行时间可以通过公式：

T(n)=aT(⌈nb⌉)+O(nd)

得出。以下将给出这类一般递推式的一个封闭解，以便由于遇到新的问题时，无需重新求解。

主定理(还存在更一般的结果)：如果对于常数a>0、b>1以及d≥0，有T(n)=aT(⌈nb⌉)+O(nd)成立，则：

T(n)=⎧⎩⎨⎪⎪O(nd)O(ndlog2n)O(nlogba)d>logbad=logbad<logba

譬如：归并排序的时间复杂度为T(n)=2T(⌈n2⌉)+O(n1)

那么a=2，b=2，d=1，则d=1=logba=1，由主定理可知T(n)=O(ndlog2n)=O(nlog2n)