希尔伯特空间的科普

度量空间

　　极限是数学分析中的基本概念之一。实数列的收敛，函数列的均匀收敛，在平面区域中复变函数列的内闭均匀收敛等等各种极限概念，都可以统一在下面要介绍的度量空间内按距离收敛的概念之中。分析数学方面各个学科都是以某种函数空间为对象而研究在这种空间上的某种数学运算的。

定义

　　设R是一个非空的集，假如对于R中任意一对元素x，y，都给定一个实数ρ(x,y)与它们对应，而且适合如下的条件：

（1）ρ(x,y)>=0，又ρ(x,y)=0的充要条件是x=y；

（2）成立三角不等式：

ρ(x,y)≤ρ(x,z)+ρ(y,z)(z∈R)

那么称ρ(x,y)是两点x，y之间的距离，又称R按照距离ρ(x,y)成为度量空间或者距离空间，记为(R,ρ)，或者简单地记作R。R中的元素成为点。

由性质(1)与(2)可以推出，距离还具有对称性，即在性质二中将z取x：对R中任意的x，y，成立着：

（3）ρ(x,y)=ρ(y,x)。

在假设(1)的前提下，下面的不等式(4)是与三角不等式(2)等价的。

（4）对任何x,y,z∈R，

|ρ(x,y)−ρ(y,z)|≤ρ(x,z).

　　度量空间R的任何非空子集M，就以R中距离ρ作为M上的距离，显然(M,ρ)也是度量空间，称(M,ρ)为R的子空间。

作用

　　我们知道，平面上的点列{x(n)}趋向于极限点x的充要条件为

ρ(x(n),x)→0(n→∞)

同样，其他极限我们可以通过定义合适的距离ρ。为了深入研究各种极限过程，把在具体空间中所定义的距离函数ρ抽象化，推而广之，对一般点集引进点与点之间的距离，这就产生了距离空间或者度量空间的概念。

线性空间

　　只有度量空间的概念，对于分析数学的各分支还不够具体。因为通常所考察的空间，例如函数空间和序列空间，除去可引进极限概念外，他们同时又是一个代数系统，就是说空间中的元素间存在某种代数关系。当只着眼于空间中的代数结构，即元素之间的加法运算以及数与空间中元素的乘法运算时，就必须引入线性空间（或称向量空间）的概念。

　　设R为一集。假如在R中规定了线性运算——元素的加法运算以及实数（或复数）与R中元素的乘法运算，满足下述条件：

　　I.R关于加法成为交换群。就是说对于任意一对x,y∈R，都存在u∈R，记作u=x+y，称它是x,y的和。这个运算适合

　　（1）y+x=x+y;

　　（2）(x+y)+z=x+(y+z);

　　（3）R中存在唯一的元素0（称它是零元素），使得对于任何x∈R成立着x+0=x；

　　（4）对于R中每一元素x，存在唯一的元素x′∈R（对应于x），满足x+x′=0，称x′是x的负元素，记作−x。

　　II.对于任何x∈R及任何实（或复）数a，存在元素ax∈R，称ax是a和x的数积，适合

　　（5）1⋅x=x;

　　（6）a(bx)=(ab)x,a,b是实（或复）数;

　　（7）(a+b)x=ax+bx,a(x+y)=ax+ay。

　　那么， 称R为线性空间或向量空间，其中的元素也成为向量。

　　如果数积运算对于实数有意义，就称R是实（线性）空间；如果数积对复数有意义，称R是复（线性）空间。每个复空间显然也是实空间。

赋范线性空间

　　设R是实（或复）数域F上的一个线性空间。如果R上的实值函数p(⋅)满足下列条件：

　　（1）p(x)≥0,x∈R;

　　（2）p(αx)=|α|p(x),x∈R,αinF;

　　（3）p(x+y)≤p(x)+p(y),x,y∈R;

　　我们称p(x)是x的半范数或称为拟范数。

　　如果半范数p(x)又满足如下条件：

　　（4）如果p(x)=0，那么x=0，

　　便称p(x)是x的范数，通常也记x的范数为||x||，而且R按这个范数||⋅||称作赋范线性空间，简称做赋范空间。

作用

　　在任何一个赋范线性空间R中，可以由范数引出两点间的距离：对于x,y∈R，令

ρ(x,y)=||x−y||,

那么从范数的四个条件容易验证||x−y||满足距离的两个条件。于是我们可以对每个赋范线性空间按上述引入距离，使之成为度量空间。这样一来，就可以在赋范线性空间空引入极限概念。

内积空间

　　对有限维空间来说，向量的范数相当于向量的模长。但是，在有限维欧几里得空间中还有一个很重要的概念——两个向量的夹角，特别是两个向量的正交。有了它们，就有勾股定理，向量的投影等。而在赋范线性空间中，并没有引进这个概念。另外，我们还知道，向量的模长与夹角可以用更本质的量——向量的内积来描述。

　　设Λ是实数域或复数域，H是Λ上的线性空间，如果对于H中任何两个向量x,y，都对应着一个数(x,y)∈Λ，满足条件：

　　（1）共轭对称性：对任何x,y∈H,(x,y)=(y,x)；

　　（2）对第一变元的线性：对任何x,y,z∈H及任何两数α,β∈Λ，成立着

(αx+βy,z)=α(x,z)+β(y,z);

　　（3）正定性：对于一切x∈H,(x,x)≥0,而且(x,x)=0的充要条件是x=0。

　　那么称(⋅，⋅)为H中的内积，如果H上定义了内积，当varLambda是实数（或复数）域时，称H为实（或复）内积空间。

　　由条件（1）（2）可以得到条件（4）：

　　（4）内积(⋅，⋅)对于第二个变元来说，是共轭线性的：即对任何x,y,z∈H及任何两数α,β∈Λ，成立着：

(z,αx+βy)=α(z,x)+β(z,y),

当H是实空间时，内积对第二变元也是线性的。

希尔伯特空间

　　完备的内积空间称为Hilbert(希尔伯特)空间。其上所有的柯西序列等价于收敛序列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。有限维的内积空间称为欧几里得空间，n维的欧几里得空间是完备的。将有限维推广到无限维后，若是完备的，则得到希尔伯特空间。随着维数的增加，空间的变换将呈现出复杂性。对照一维空间与多维空间，可以看出，在适当的拓扑结构下，一维实空间的许多拓扑性质在多维空间中得到保持。事实上，由定义可以看出，Rn中的许多问题可以转化为一维实空间中的n个相关问题。在有限范畴内，个数的增加不会影响这种“同步”的定性性质。但是，当个数“达到”无穷多时，要取得“同步”是一件非常困难的事。由此可以预见，无穷维空间将呈现出非常复杂的拓扑性质。