bzoj 1096 [ZJOI2007]仓库建设

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3

0 5 10

5 3 100

9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

首先，我们发现一个重要的性质，货只能往山下运，那么就成了一个分段使花费最小的问题。

如果1、2、3的货都要运到4里，那么花费就是

(x4-x1)*p1+(x4-x2)*p2+(x4-x3)*p3+c4

进行化解和因式分解，得到

x4*(p1+p2+p3)-(x1*p1+x2*p2+x3*p3)+c4

那么我们可以对pi和xi*pi进行前缀和操作，然后斜率优化一下就好了。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
int n,head,tail;
ll a[1000005],b[1000005],c[1000005];
ll p[1000005],t[1000005],f[1000005];
int q[1000005];
ll dy(int i,int j)
{
return f[i]+t[i]-(f[j]+t[j]);
}
ll dx(int i,int j)
{
return p[i]-p[j];
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&a[i],&b[i],&c[i]);
p[i]=p[i-1]+b[i];
t[i]=t[i-1]+a[i]*b[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(head<tail&&dy(q[head+1],q[head])<a[i]*dx(q[head+1],q[head])) head++;
int v=q[head];
f[i]=f[v]+a[i]*(p[i-1]-p[v])-(t[i-1]-t[v])+c[i];
while(head<tail&&dy(i,q[tail])*dx(q[tail],q[tail-1])<dy(q[tail],q[tail-1])*dx(i,q[tail])) tail--;
q[++tail]=i;
}
cout<<f
<<endl;
return 0;
}