[CQU 21466] zzblack与斐波那契数列 （矩阵快速幂）

CQU - 21466

求 f(⌈(5√+12)2m⌉)

其中 f(n)是 Fibonacci数列的第 n项

首先要求项数，一看 m很大，肯定是快速幂

但是底数是个浮点数，肯定不能直接快速幂

所以要给底数加一个 (5√−12)2m

Am=(5√+12)2m+(5√−12)2m

可以证明Am是整数，并且 (5√−12)2m<1

所以Am就相当于原数向上取整

所以问题就转化为求 Am

给Am乘上 (5√+12)2+(5√−12)2，可以推出

Am+1=3Am−Am−1

然后用矩阵快速幂求Am就好了，然后对 Fibonacci的循环节取 mod

至于 Fibonacci数列，同样用矩阵快速幂求就好了

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef double DBL;
typedef long double LDBL;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define Sqr(a) (a*a)

const LL MOD1=2238065148, MOD2=16941960;
struct Matrix
{
LL n[2][2];
LL mod;
Matrix(LL a):mod(a){CLR(n);}
void E(){CLR(n);for(int i=0; i<2; i++) n[i][i]=1;}
Matrix operator * (const Matrix &v) const
{
Matrix res(mod);
for(int i=0; i<2; i++) for(int j=0; j<2; j++) for(int k=0; k<2; k++)
res.n[i][j]=(res.n[i][j] + (n[i][k]*v.n[k][j])%mod ) %mod;
return res;
}
};

LL N;
LL getT(LL);
LL getF(LL);

int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif

int T;
scanf("%d", &T);
for(int ck=1; ck<=T; ck++)
{
scanf("%lld", &N);
N=getT(N);
N=getF(N);
printf("%lld\n", N);
}
return 0;
}

LL getT(LL N)
{
if(N==0) return 1;
if(N==1) return 3;
if(N==2) return 7;
N-=2;

Matrix res(MOD2),ans(MOD2);
ans.E();
res.n[0][0]=3; res.n[0][1]=-1; res.n[1][0]=1;
while(N)
{
if(N&1) ans=res*ans;
res=res*res;
N>>=1;
}

LL tn = (7*ans.n[0][0] + 3*ans.n[0][1]) %MOD2;
tn+=MOD2;
return tn%MOD2;
}

LL getF(LL N)
{
if(N==0) return 1;
if(N==1) return 1;
N-=2;

Matrix res(MOD1),ans(MOD1);
ans.E();
res.n[0][0] = res.n[0][1] = res.n[1][0] = 1;
while(N)
{
if(N&1) ans=res*ans;
res=res*res;
N>>=1;
}

return (ans.n[0][0] + ans.n[0][1]) %MOD1;
}