AVL Trees 学习笔记

AVL Trees 学习笔记

AVL Trees 是一种特殊的二叉搜索树，它的作用是通过自我调整，让整棵树保持平衡，从而降低整棵树的高度，以提高查找效率。

本文将首先介绍AVL Trees，然后介绍它的实现方法，性能评估，最后分析题目。

Introduction

特点

通过自我调整使树趋于平衡，降低树的高度，提高搜索效率

本质

二叉搜索树

变化

相比于二叉搜索树，有两个变化，一是每个节点增加了BF属性用于存储左子树和右子树的高度差，二是每次增加或删除节点后都会进行调整，使之balance

实现

结构

增加了BF属性的二叉搜索树

typedef struct node* tree;
struct node{
element key;
tree left;
tree right;
int BF;
}

BF = height of left tree - height of right tree

通过判断每个节点的BF值判断树是否height balanced. 若失去平衡，则开始调整。

Height Balanced

An empty binary tree is height balanced. If T is a nonempty binary tree with TL and TR as its left and right subtrees, then T is height balanced iff

(1) TL and TR are height balanced, and

(2) | hL - hR | < 1 where hL and hR are the heights of TL and TR , respectively.

调整触发条件

更新BF值

从增加或删除节点的位置开始向上遍历，访问BF值

若有BF< -1 || BF > 1 调整该节点及其子树

若一直到根节点BF都正常则无需调整

调整完成，更新BF值

调整

共有 RR, LL, RL, LR 四种情况

RR

需要注意的是，矩形（如BL，BR， AL）表示的不是一个节点，而是表示一棵子树，A表示的不一定是root，而是一个Trouble Maker节点。

LL

LL情况与RR相似，它们是对称的。它们的共同点是，都是在从 Trouble Maker节点 到 其子节点 到 子节点的子树 这条路径上，旋转一次。

LR

LR和RL的情况就要稍微复杂，需要进行两次旋转。



这次旋转中事实上包括了两次旋转，首先是B, C, C的子树路径上进行一次左旋转：



然后是A, C, B路径上的第二次旋转:

RL

RL的情况与LR情况相似

性能评估

每次操作需要遍历从最底端到root的各个节点，时间复杂度为O(h)，调整操作时间复杂度为O(1)。故每次操作时间复杂度为O(h)。

又 h = O(lnN)

故操作时间复杂度为O(lnN)

证明 h = O(lnN)

记一个高度为h的树，节点数为nh

一棵高度为h，节点数最少的树是这样的形式：



由此我们可以得出nh = nh-1 + nh-2 + 1

令Fi = nh + 1

有Fi = Fi-1 + Fi-2

我们可以发现 Fi 符合斐波那契数列，且通过将h=1, h=2, h=3 代入，我们可以得出i = h+2

即 nh+2 - 1 符合斐波那契数列

根据斐波那契数列的理论 Fi=15√(1+5√2)i

我们可以得到 nh=15√(1+5√2)h+2−1

故 h=O(lnN)

分析题目

Insert 2, 1, 4, 5, 9, 3, 6, 7 into an initially empty AVL tree. Which one of the following statements is FALSE? (1分)

A. 4 is the root

B. 2 and 6 are siblings

C. 3 and 7 are siblings

D. 9 is the parent of 7

让我们来模拟插入的过程



故答案为C

If the depth of an AVL tree is 6 (the depth of an empty tree is defined to be -1), then the minimum possible number of nodes in this tree is: (1分)

A. 13

B. 17

C. 20

D. 33

在证明h=O(lnN)的过程部分我们有

n最少时，nh = nh-1 + nh-2 + 1

又 depth = height - 1

故ndepth=6 = n7 = 33

答案为 D