渐进记号的相关证明

1. max(f(n),g(n))

max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))

证明如下，只需找到常数 c1,c2,n0>0，满足：

c1(f(n)+g(n))≤max(f(n),g(n))≤c2(f(n)+g(n))

不妨设 f(n)≥g(n)，则：c1=12,c2=1

2. (n+a)b

对任意实常量 a 和 b，其中 b>0，有：

(n+a)b=Θ(nb)

目标是找到 c1,c2,n0，对所有的 n≥n0：

c1⋅nb≤(n+a)b≤c2⋅nb

注意到：

n+a≤n+|a|≤2n,|a|≤nn+a≥n−|a|≥12n,|a|≤12n

当 n≥2|a|时，

(12n)b≤(n+a)b≤(2n)b

n0=2|a|,c1=12b,c2=2b。

3. logn

试证明，对于任何 ϵ>0，都有：logn=O(nϵ)

证：我们知道 lnn 的增长很慢，因此总存在 M>0，使得 n>M 时，lnn<ϵn。

不妨令，这里的 N=eM，因此当 n>N（lnn>M），所以有：

lnlnn<ϵlnn⇒nlnlnn<nϵlnn⇒lnn<nϵ