动态规划思想之最小硬币分配数

动态规划算法，第一次接触大概也是一年多前了，那会为了参加个ACM竞赛，仓促看了下概念，之后由于去搞各种开发又对算法不了了之了。最近深感自己内功的薄弱，准备再次进军下算法部分，今天就以一个简单的OJ题练练手，好好体会下DP思想，并留下点感想，可以给自己日后回顾复习。下面是题目的简介：

–问题描述

作为老师，最盼望的日子就是每月的10号了，因为这一天是发工资的日子，养家糊口就靠它了，但是对于学校财务处的工作人员来说，这一天则是很忙碌的一天，财务处的小胡老师最近就在考虑一个问题：如果每个老师的工资额都知道，最少需要准备多少张人民币，才能在给每位老师发工资的时候都不用老师找零呢？这里假设老师的工资都是正整数，单位元，人民币一共有100元、50元、10元、5元、2元和1元六种。

–输入

输入数据包含多个测试实例，每个测试实例的第一行是一个整数n（n<100），表示老师的人数，然后是n个老师的工资。n=0表示输入的结束，不做处理。

–输入样例

3
1 2 3
0

–输出样例

4

–分析

先自己规定一个数学表达式，d(i)=j代表的实际意义是：如果需要分配i块钱至少需要j个硬币。那么可以很容易的知道d(0) = 0;d(1) = d(1 - 1) + 1;d(2) = min{d(2-2) + 1,d(2 - 1) + 1}.这里以d(2)为例，做个简单的分析，如果需要2块钱，那么我们可以将这个问题分解成更小的子问题来求解，即可以在d(1)的基础上在拿1个硬币就可以凑到2块钱，或者是在d(2 - 2)的基础上再拿一个2元的硬币即可达到要求。所以，这个分钱求数目的过程可以通过其子问题来间接求解，这也就是说这个问题是具有最优子结构的。我们也很容易的得出这个问题的一个状态转移方程为d(i) = min{d(i - v(j)) + 1}。v(j)指最小直接可用的硬币价值。

当然，上面那个转移方程和递归式很像，但如果采用递归来求解，那么动态规划的优势或许就体现不出来了，在我目前的理解下，我认为动态规划的魅力就在于求解此类问题时能大大缩短算法的耗时，因为状态转移方程的存在，所以我们完全可以利用一个数组来保存之前求得的d(i)的值，也就是自底向上的求解，这样就避免了类似递归，减少了重复的调用次数，所以提高了算法的运行效率。

–示例代码

#include <stdio.h>

int wage[] = {1,2,5,10,50,100};

int main()
{
int n,i,j,num;
int perWage[200];

int Min = 1000000;
int result[1000] = {0};
for(i = 1; i < 1000; i ++)
{
Min = 1000000;
for(j = 0; j < 6; j++)
{
if(i - wage[j] >= 0)
{
num = result[i - wage[j]] + 1;
if(num < Min)
Min = num;
}
}
result[i] = Min;
}

while(scanf("%d",&n))
{
if(n == 0)
break;
for(i = 0; i < n; i++)
scanf("%d",&perWage[i]);

int num = 0;

for(i = 0; i < n; i++)
{
num += result[perWage[i]];
}

printf("%d\n",num);
}

return 0;
}