背包问题

题目：

有N件物品和一个容量为V的背包。放入第i件物品耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路：

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即F[i,v]表示前i件物品恰放入一个容量为V的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

F[i,v] = max{F[i-1,v], F[i-1, v-Ci]+Wi}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所有有必要详细解释：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只和前i-1件物品相关的问题。（1）如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为F[i-1, v]；（2）如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-Ci的背包中”，此时能获得的最大价值就是F[i-1, v-Ci]再加上通过放入第i件物品获得的价值Wi。

伪代码如下：

F[0,0...V] = 0
for i=1 to N
for v= Ci to V
F[i, v] = max{F[i-1, v], F[i-1, v-Ci] + Wi}

优化空间复杂度：

以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i = 1…N，每次算出来二维数组F[i, 0…V]的所有值。那么，如果只用一个数组F[0…V]，能不能保证第i次循环结束后F[v]中表示的就是我们定义的状态F[i, v]呢？F[i, v]是由F[i-1, v]和F[i-1, v-Ci]两个子问题递推而来的，能够保证在推F[i, v]时（也即在第i次主循环中推F[v]时）能够取用F[i-1, v]和F[i-1, v-Ci]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V…0的递减顺序计算F[v]，这样才能保证推F[v]时F[v-Ci]保存的是状态F[i-1, v-Ci]的值