ACM学习历程—SNNUOJ 1239 Counting Star Time(树状数组 && 动态规划 && 数论)

http://219.244.176.199/JudgeOnline/problem.php?id=1239

这是这次陕西省赛的G题，题目大意是一个n*n的点阵，点坐标从(1, 1)到(n, n)，每个点都有权值，然后从(x, y)引x轴的垂线，然后构成一个三角形，三个顶点分别是(0, 0)，(x, 0)和(x, y)。求三角形内点的权值和，包括边界，n的范围是1000，m的范围是100000，说起来也比较坑。。学弟n*m的复杂度竟然水过去了，目测比赛数据比较水。。不过我挂到我们OJ上给了一组随机数据，一组极限数据，然后学弟就T掉了。。（坑学弟系列。。）

不水了，这个题目感觉本身是个很好的题。

刚拿到题，我的第一反应肯定是求出所有的p(x, y)，然后往dp的转移方程去考虑。但是发现单纯的递推感觉问题更复杂了。。

但是发现一个重要点就是，斜率小的点，必定被它后面斜率大的点包括。然后，我就想到按x轴枚举每一列，维护每个斜率出现的权值和。那么每一个大的斜率必然是前面枚举过的小的斜率的和，于是便可以树状数组维护了。关键是解决斜率的离散化，我的第一想法是map来进行Hash。当时有了这个思路，本来想着应该可以抢个一血什么的。。结果打到一个小时左右的时候，发现这题已经被好几个人A掉了。。。（什么鬼。。）。我的第一发T了。。通过本地测试，map那个Hash实在太慢了。。于是我开始考虑怎么优化这个Hash，想了好几个办法，要满足y1/x1 < y2/x2，并且Hash(x1, y1) < Hash(x2, y2)的函数实在是没办法。。中间还交了两次错误的Hash方法。。最后队友提醒下，发现那个离散化的过程完全可以一开始预处理，不需要每组数据在线完成，因为数据只有1000*1000，那么所有斜率必然在这个范围内。然后终于A掉了。。

预处理复杂度:O(n*n*log(n*n))

打表:O(n*n*log(n*n))

在线查询:O(m)

最后总的复杂度是O(n*n*log(n*n)+T*(m+n*n*log(n*n)))

如果m大一点的话，这个复杂度还是比较优秀的。。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <map>
#include <vector>
#include <string>
#define LL long long

using namespace std;

const int maxM = 1005;
const int maxN = 1000005;
LL d[maxN];

int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}

void add(int id, int pls)
{
while(id <= maxN)//id×î´óÊÇmaxN
{
d[id] += pls;
id += lowbit(id);
}
}

LL sum(int to)
{
LL s = 0;
while(to > 0)
{
s = s + d[to];
to -= lowbit(to);
}
return s;
}

int gcd(int a, int b)
{
int r;
while (b != 0)
{
r = b;
b = a%b;
a = r;
}
return a;
}

struct node
{
int x, y;

void create(int xx, int yy)
{
int t = gcd(xx, yy);
x = xx/t;
y = yy/t;
}

bool operator<(node k) const
{
return k.x*y > k.y*x;
}
};

int n, a[maxM][maxM];
LL p[maxM][maxM];
int Hash[maxM][maxM];
bool vis[maxM][maxM];

void init()
{
memset(vis, false, sizeof(vis));
memset(Hash, 0, sizeof(Hash));
node t, k;
priority_queue<node> q;
int cnt = 1;
for (int i = 1; i < maxM; ++i)
{
t.x = maxM-1;
t.y = i;
q.push(t);
vis[t.x][t.y] = true;
}
while (!q.empty())
{
t = q.top();
q.pop();
vis[t.x][t.y] = false;
k.create(t.x, t.y);
if (!Hash[k.x][k.y]) Hash[k.x][k.y] = cnt++;
if (t.x > 1 && !vis[t.x-1][t.y])
{
t.x--;
q.push(t);
vis[t.x][t.y] = true;
}
}
}

void input()
{
memset(d, 0, sizeof(d));
node t;
int to;
scanf("%d", &n);
for (int i = n; i >= 1; --i)
for (int j = 1; j <= n; ++j)
scanf("%d", &a[i][j]);
for (int j = 1; j <= n; ++j)
{
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
t.create(j, i);
to = Hash[t.x][t.y];
add(to, a[i][j]);
p[j][i] = sum(to);
}
}
}

void work()
{
int m, u, v;
scanf("%d", &m);
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
printf("%lld\n", p[u][v]);
}
}

int main()
{
//freopen("test.in", "r", stdin);
//freopen("test.out", "w", stdout);
init();
int T;
scanf("%d", &T);
for (int times = 1; times <= T; ++times)
{
printf("Case #%d:\n", times);
input();
work();
}
return 0;
}

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