nyoj 451 光棍节的快乐
2016-05-24 11:19
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刚做这道题也是一脸懵逼,对于排列问题还是停留在高中的时候,后来才知道原来是错排问题,对于错排问题,百度百科给出了这样的解释:问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法?
这个问题推广一下,就是错排问题,是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。
错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究,因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本,如在写信时将n封信装到n个不同的信封里,有多少种全部装错信封的情况?又比如四人各写一张贺年卡互相赠送,有多少种赠送方法?自己写的贺年卡不能送给自己,所以也是典型的错排问题。
递推的推导错排公式:
当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示,那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况:⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有D(n-1)种方法;
综上得到
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地,D(1) = 0, D(2) = 1.
有了上面的理解,在结合高中学习的公式就很好做出来了,比如输入n,m,那答案就就是从n个人里面随机选出n-m个人,这n-m个人抽到了自己的,而剩下的m个人就是错排,即C(n,n-m)*m的错排;
AC代码:
这个问题推广一下,就是错排问题,是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。
错排问题最早被尼古拉·伯努利和欧拉研究,因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本,如在写信时将n封信装到n个不同的信封里,有多少种全部装错信封的情况?又比如四人各写一张贺年卡互相赠送,有多少种赠送方法?自己写的贺年卡不能送给自己,所以也是典型的错排问题。
递推的推导错排公式:
当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示,那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况:⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法;⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有D(n-1)种方法;
综上得到
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地,D(1) = 0, D(2) = 1.
有了上面的理解,在结合高中学习的公式就很好做出来了,比如输入n,m,那答案就就是从n个人里面随机选出n-m个人,这n-m个人抽到了自己的,而剩下的m个人就是错排,即C(n,n-m)*m的错排;
AC代码:
/*用long long ,int会超范围,比如20 20*/ #include<stdio.h> #include<string.h> long long a[25]={0,0,1},c[22][22]; int main() { long long i,j; for(i=3;i<=20;i++) a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]); //打一个错排的表 for(i=1;i<=20;i++) { c[i][0]=c[i][i]=1; for(j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]); } //打一个20以内排列组合的表 long long n,m; while(scanf("%lld%lld",&n,&m)+1) { printf("%lld\n",c [n-m]*a[m]); } }
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