辗转相除法的证明

描述：关于辗转相除法的具体实现在这里就不具体说明了，本文要记录的是辗转相除法应用于求最大公约数的算法证明过程。
　　假设：

求m和n的最大公约数。
a,b分别是m除以n的商和余数，即m=na+b。
gcd(m,n)表示m和n的最大公约数。
　　求证：gcd(m,n)=gcd(n,b)

　　证明：

　　　　设c=gcd(m,n), d=gcd(n,b)

　　1.　∵c为m和n的公约数

　　　　∴m能被c整除，n也能被c整除

　　　　∴na也能被c整除 参照推论一

　　　　∴m-na也能被c整除(即b能c整除) 参照推论二

　　　　∴c为n和b的公约数

　　　　∵d为n和b的最大公约数

　　　　∴c≤d

　　2.　同理可证 d≤c

　　　　∵d为n和b的公约数

　　　　∴n能被d整除，b也能被d整除

　　　　∴na也能被d整除 参照推论一

　　　　∴na+b也能被d整除(即m能d整除) 参照推论二

　　　　∴d为m和n的公约数

　　　　∵c为m和n的最大公约数

　　　　∴d≤c

　　综上所述：c=d，即gcd(m,n)=gcd(n,r)

 

推论一：若a能被b整除(a=tb)，则如果k为正整数，则ka也能被b整除(ka=ktb)。

推论二：若a能被c整除，b也能被c整除，则(a±b)也能被c整除。