陶哲轩实分析 5.3 节习题试解

陶哲轩实分析 5.3 节习题试解

5.3.1

，，

(1) 证明

都有

所以 与 是等价的。

所以 。

(2) 如果 那么

由于 ，所以 ，当 时满足

由于 ，所以 ，当 时满足

设 ， 当 时，有

所以 与 是等价的。

所以

5.3.2

，，

(1) 证明 也是实数。

因为 是 Cauchy 序列。所以 是有界的。

也就是说存在一个 ，对任意的 都有 。

因为 是 Cauchy 序列。所以 是有界的。

也就是说存在一个 ，对任意的 都有 。

设 那么对任意 都有 和 。

因为 是 Cauchy 序列。所以存在一个 当 时满足

因为 是 Cauchy 序列。所以存在一个 当 时满足

所以

所以 是 Cauchy 序列。

所以 是实数。

(2) 证明如果 那么

因为 和 是等价的。

所以对 都存在一个 ，当 时，有

因此，当 时，有

所以 和 是等价的。

所以

5.3.3

因为

所以对 有

所以 和 是等价的。

所以

因为

所以 对 有

所以

5.3.4

有界， 与 等价。证明 是有界的。

因为 与 等价，所以 与 是终极 - 接近的。

根据习题 5.2.2 的结论，所以 是有界的。

5.3.5

证明

都存在 ，当 时，有：

所以 和 是等价的。

所以