[SCU 4508] 雷神之路 （多矩阵快速幂）

SCU - 4508

一条长度 N(N<1e18)的路，一次可以向前走一步、两步或者三步。

有些地方有地雷不能走，问走到终点的方案数是多少。

这题 N高达 1e18,反而直接提示了做法。这题非矩阵快速幂不可。

构造两个矩阵，norm表示下一格没有雷，向前递推一步

而 zero表示下一格有雷，向前递推一步

然后对地雷的位置排序，第 i个地雷据上一个地雷的距离为 s

则对答案向量左乘 norm^(s-1)*zero

其中

norm=⎡⎣⎢⎢110101100⎤⎦⎥⎥

zero=⎡⎣⎢⎢010001000⎤⎦⎥⎥

初始向量为

X=⎡⎣⎢⎢F0F−1F−2⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢100⎤⎦⎥⎥

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
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#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int,int> Pii;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef double DBL;
typedef long double LDBL;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define Sqr(a) (a*a)

const int maxm=500+10, MOD=1e9+7;
struct Matrix
{
LL n[3][3];
Matrix(){CLR(n);}
Matrix operator * (const Matrix &v) const
{
Matrix temp;
for(int i=0; i<3; i++) for(int j=0; j<3; j++) for(int k=0; k<3; k++)
temp.n[i][j]=(temp.n[i][j]+n[i][k]*v.n[k][j])%MOD;
return temp;
}
void E(){CLR(n);for(int i=0; i<3; i++) n[i][i]=1;}
void pri(){puts("Matrix:");for(int i=0; i<3; i++) {for(int j=0; j<3; j++)printf("%lld", n[i][j]);puts("");}}
};
LL N;
int M;
LL inpt[maxm];

Matrix MPow(Matrix,LL);

int main()
{
#ifdef LOCAL
freopen("in.txt", "r", stdin);
//  freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif

int T;
scanf("%d", &T);
for(int ck=1; ck<=T; ck++)
{
scanf("%lld%d", &N, &M);
for(int i=0; i<M; i++) scanf("%lld", &inpt[i]);
sort(inpt, inpt+M);
M=unique(inpt, inpt+M)-inpt;
while(M && inpt[M-1]>N) M--;
if(!M)
{
puts("1");
continue;
}
if(inpt[0]==0 || inpt[M-1]==N)
{
puts("0");
continue;
}
Matrix res,zero,norm;
res.E();
zero.n[1][0] = zero.n[2][1] = 1;
norm=zero;
for(int i=0; i<3; i++) norm.n[0][i]=1;

for(int i=0; i<M; i++)
{
int tims=inpt[i]-1;
if(i) tims-=inpt[i-1];
res=MPow(norm, tims)*res;
res=zero*res;
}
res=MPow(norm, N-inpt[M-1])*res;
printf("%lld\n", res.n[0][0]);
}
return 0;
}

Matrix MPow(Matrix mat, LL tims)
{
Matrix res;
res.E();
while(tims)
{
if(tims&1) res=res*mat;
mat=mat*mat;
tims>>=1;
}
return res;
}