陶哲轩实分析-第5章-实数

不知道怎么回事丢掉了，只能从百度快照找到这些，哎！

5.1 Cauchy序列

习题

5.1.1对于Cauchy序列(an)∞n=1，如提示，选ε=1，则存在N，满足如果i,j≥N则|ai�6�1aj|≤1，那么|ai�6�1aN|≤1，也就是|ai|≤1+aN根据引理5.1.14，对于{a1,a2,…,an}存在M满足对于所有这些元素ai≤M。这样，对于所有的元素，都满足ai≤M+1

5.2 等价的Cauchy序列

习题

5.2.1a，b等价，a是Cauchy序列则b是Cauchy序列。

对于任意ε，存在N，满足对于n≥N |an�6�1bn|≤ε/3，由于a是Cauchy序列，那么存在M，满足对于i,j≥M,|ai�6�1aj|≤ε/3，设L为M和N中较大的数，那么对于i,j≥L |bi�6�1bj|=|(bi�6�1ai)�6�1(bj�6�1aj)+(ai�6�1aj)|≤ε/3+ε/3+ε/3=ε，也就是b为Cauchy序列

如果a不是Cauchy序列，反证法证明b也不是，如果b是，那么a应该是，矛盾。

5.2.2

an有界M，取ε=1，设bn前面项最大的为N，那么容易证明bn有界max{N,M+1}

5.3 实数的构造

负运算

�6�1liman=lim�6�1an为什么，涉及到无限的时候各种运算都得小心，不能显然得出，比如第1章讨论的各种问题，需要用定义来证明。�6�1liman=�6�11×liman=lim�6�1an最后一个等号根据乘法的定义。

引理5.3.13中的（如何断定）

|bn|+|bn0�6�1bn|≤|bn0|

|bn|≥ε�6�1ε/2

习题

5.3.1

x=x，对于对于任意n，an�6�1an=0≤ε

x=y => y=x，根据4.3.7(b)

x=y y=z => x=z，根据4.3.7(c)

5.3.2

需要证明anbn为Cauchy序列，根据命题4.3.7(h)，设a和b的上界为M和N，an�6�1bn是ε(M+N+ε)接近的。用5.3.6中类似的讨论就完成了证明。

对于带入定义，根据命题4.3.7(g)容易得出。

5.3.3

括号中的说法是显然的

5.3.4

感觉与习题5.2.2一样

5.3.5

只需要对任意ε，找到对于n≥N，1/n�6�10≤ε，只需要n≥1/ε

5.4 给实数编序

命题5.4.12如何证明存在比例数q满足q≤x的？

考虑对应x的某个限制离开0的Cauchy序列an。可以去一个比较小的比例数ε使得对于n≥N有bn≥ε。

习题

5.4.1考虑x的一个逼近Cauchy序列(an)∞n=1，这个序列不能等价于(0)，根据引理5.3.14，可以假定an是限制离开0的，并且容易证明其必然是正限制离开0的或负限制离开0的，否则不满足Cauchy序列定义。

x正=>-x正：an正则�6�1an负。x+y和xy同样。

5.4.2

(a)序的三歧性，因为x-y为实数，必为0或正或负

(b)x < y<=>y > x，根据5.4.4 x-y负当且仅当y-x正

(c)传递x < y y < z则x < z

y-x=a正

z-y=b正

z-x=a+b正

(d)x+z-(y+z)=x-y

(e)书中已经证明

5.4.3命题4.4.1说明了比例数有这样的性质，根据比例数和实数的关系来证明。

考虑x对应的一个Cauchy序列an，那么存在M，使得对于m,n > L，|am�6�1an|≤0.1

唯一性

不可能存在2个整数M和N同时满足，否则假设M < N，则x