hihoCoder 1298 欧拉函数

欧拉函数

描述

小Hi和小Ho有时候会用密码写信来互相联系，他们用了一个很大的数当做密钥。小Hi和小Ho约定了一个区间[L,R]，每次小Hi和小Ho会选择其中的一个数作为密钥。

小Hi：小Ho，这次我们选[L,R]中的一个数K。

小Ho：恩，小Hi，这个K是多少啊？

小Hi：这个K嘛，不如这一次小Ho你自己想办法算一算怎么样？我这次选择的K满足这样一个条件：

假设φ(n)表示1..n-1中与n互质的数的个数。对于[L,R]中的任意一个除K以外的整数y，满足φ(K)≤φ(y)且φ(K)=φ(y)时，K<y。

也即是K是[L,R]中φ(n)最小并且值也最小的数。

算法思想：

φ(n)：一般被称为欧拉函数。其定义为：小于n的正整数中与n互质的数的个数。

对于φ(n)，我们有这样三个性质：

(1) 若n为素数，则φ(n) = n - 1

显然，由于n为素数，1~n-1与n都只有公因子1，因此φ(n) = n - 1。

(2) 若n = p^k，p为素数（即n为单个素数的整数幂），则φ(n) = (p-1)*p^(k-1)

因为n是p的整数幂，因此所有p的倍数和n都不互质。小于n的p的倍数一共有p^(k-1)-1个，因此和n互质的个数为：

p^k-1 - (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)

(3) 若p和q互质，则φ(p*q) = φ(p) * φ(q)

对于所有小于pq的整数u，可以表示为u=aq+r。(a=0,1,2,...,p-1，r=0,1,...,q-1)。

对于u = aq + r, 设R = u mod p，0≤R<q。对于一个固定的r，设a1, a2满足0 <= a1, a2 < p且a1≠a2，有：

u1 = a1*q+r, u2 = a2*q+r
u1-u2=(a1-a2)*q

因为p与q互质，且|a1-a2|<p，则|u1-u2|一定不是p的倍数。

所以对于每一个固定的r，其对应的p个u = a*q+r(a=0,1,2,...,p-1)对mod p来说余数都不相同，即u mod p的结果恰好取遍0,1,...,p-1中的每一个数。

下面我证明一个引理：u mod p与p互质 <=> u与p互质，其证明如下：

假设a,b互质,c = a mod b。
假设c与b不互质，则存在d≥1，使得c=nd, b=md。
由于c = a mod b，因此a = kb + c，
则a = kmd + nd = (kn+m)d
因此d是a,b的公因数，与a,b互质矛盾。
假设不成立，所以c与b互质。

因此对于任意一个确定的r，与其对应的p个u中恰好有φ(p)个与p互质。

同理，由u = aq + r知r与q互质 <=> u与q互质。因此在0..q-1中恰好有φ(q)个r使得u与q互质。

综上，当r与q互质的情况下，固定r可以得到φ(p)个与p和q都互质的数。

满足条件的r一共用φ(q)个，所以一共能找到有φ(p) * φ(q)个与p和q都互质的数。

由此得证：φ(p*q) = φ(p) * φ(q)。

由上面这些性质的基础上我们能到推导出两条定理：

若p为质数，n为任意整数：

(1) 若p为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * p

若p为n的约数，且p为质数。则我们可以将n表示为p^k*m。m表示其他和p不同的质数的乘积。

显然有p^k与m互质，则：

φ(n) = φ(p^k)*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m)
φ(n*p) = φ(p^(k+1))*φ(m) = (p-1)*p^k*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m) * p =  φ(n) * p

(2) 若p为不为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * (p-1)

由p不为n的约数，因此p与n互质，所以φ(n*p) = φ(n) * φ(p) = φ(n)*(p-1)

根据这两条定理，当我们得到一个n时，可以枚举质数p来递推的求解φ(n*p)。这一步是不是觉得很眼熟呢？（欧拉筛法）

接下来我们只需要在欧拉筛代码的基础上做一个小改动，就可以得到递推求解φ(n)的算法：

isPrime[] = true
primeList = []
phi = []	// phi
表示n的欧拉函数
primeCount = 0
For i = 2 .. N
If isPrime[i] Then
primeCount = primeCount + 1
primeList[ primeCount ] = i
phi[i] = i - 1 // 质数的欧拉函数为p-1
End If
For j = 1 .. primeCount
If (i * primeList[j] > N) Then
Break
End If
isPrime[ i * primeList[j] ] = false
If (i % primeList[j] == 0) Then
// primeList[j]是i的约数，φ(n*p) = φ(n) * p
phi[ i * primeList[j] ] = phi[i] * primeList[j];
Break
Else
// primeList[j]不是i的约数，φ(n*p) = φ(n) * (p-1)
phi[ i * primeList[j] ] = phi[i] * (primeList[j] - 1);
End If
End If
End For

因为欧拉筛的时间复杂度是O(n)的，因此求出一个大区间内所有数的欧拉函数也只用了O(n)的时间。接下来再使用O(n)的枚举就可以求得最小的K了。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 5000000;
ll phi[N+5];

void getphiTable(){
memset(phi,0,sizeof(phi));
phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= N; ++i){
if(!phi[i]){
for(int j = i; j <= N; j += i){
if(!phi[j])
phi[j] = j;
phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
}
}
}
}

int main(){
getphiTable();
int l,r;
while(~scanf("%d%d",&l,&r)){
int ans = l;
ll sum = phi[l];
for(int i = l; i <= r; ++i){
if(phi[i] < sum){
sum = phi[i];
ans = i;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}