01背包问题

　01背包问题具体例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？　　这个问题有两种解法，动态规划和贪婪算法。本文仅涉及动态规划。　　先不套用动态规划的具体定义，试着想，碰见这种题目，怎么解决?　　首先想到的，一般是穷举法，一个一个地试，对于数目小的例子适用，如果容量增大，物品增多，这种方法就无用武之地了。　　其次，可以先把价值最大的物体放入，这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件，结果未必可行。　　最后，就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。　　表达式中各个符号的具体含义。　　w[i] : 第i个物体的重量；　　p[i] : 第i个物体的价值；　　c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；　　c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；　　由此可得：　　　　　　c[i][m] = max{ c[i-1][m-w[i]] + p[i] , c[i-1][m] }根据上式，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表），表格来自（http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload） ，当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

//01背包问题
package dynamic_programming;

public class Pack01 {
public int[][] pack(int m, int n, int w[], int p[]) {
int[][] c = new int[n + 1][m + 1]; // 一共n+1行，m+1列，多出来的0行0列作为循环的初始条件

// 第0列初始化为0
for (int i = 0; i < n + 1; i++) {
c[i][0] = 0;
}
// 第0行初始化为0
for (int j = 0; j < m + 1; j++) {
c[0][j] = 0;
}
// 开始一行一行填表(从1行1列开始)
for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
for (int j = 1; j < m + 1; j++) {// 注意第i个物品对应的重量w为w[i-1]，价格p为p[i-1]
// 如果第i个物品的重量w[i-1]大于现在的容量j，则c[i][j]=c[i-1][m]
if (w[i - 1] > j) {
c[i][j] = c[i - 1][j];
} else // 否则按照公式c[i][j]=max{ c[i-1][j-w[i-1]] + p[i-1] ,
// c[i-1][j] }来计算
{
int value1 = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1];
int value2 = c[i - 1][j];
c[i][j] = (value1 > value2) ? value1 : value2;
}
}
}
return c;
}

public void printPack(int[][] c,int m,int n,int[] w){
int[] x = new int
;
//从最后一个记录c
[m]来逆推
for(int i=n; i>0; i--){
//如果c[i][m]>c[i-1][m]，则说明包含第i个物品
if(c[i][m]>c[i-1][m]){
x[i-1] = 1;			//包含置1
m -= w[i-1];
}else{
x[i-1] = 0;			//不包含置0
}
}

for(int i=1; i<=n; i++){
if(x[i-1]==1){
System.out.println("物品"+i);
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Pack01 p1 = new Pack01();
int m = 10;
int n = 3;
int w[] = new int[] { 3, 4, 5 };
int p[] = new int[] { 4, 5, 6 };
int[][] c = p1.pack(m, n, w, p);
System.out.println("最大价值为:"+c[3][10]+"\n包含的物品为：");
p1.printPack(c, m, n, w);
}

}

文章参考：http://www.cnblogs.com/xy-kidult/archive/2013/03/25/2970313.html http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload 心得体会：最好自己手动填一次上面的表格，这样会有一个感性的认识，有助于理解动态的过程。