[BZOJ2142] 礼物 - Lucas定理及扩展 - 中国剩余定理 - 扩展欧几里得算法

2142: 礼物

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Description

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。

Input

输入的第一行包含一个正整数P，表示模；第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。

Output

若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。

Sample Input

100 4 2 1 2

Sample Output

12

【样例说明】

下面是对样例1的说明。

以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：

1/23 1/24 1/34

2/13 2/14 2/34

3/12 3/14 3/24

4/12 4/13 4/23

【数据规模和约定】

设P=p1^c1 * p2^c2 * p3^c3 * … *pt ^ ct，pi为质数。

对于100%的数据，1≤n≤109，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5。

HINT

Source

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        终于AC了……终于AC了……终于AC了……！（请允许我激动一下）

        这题写得要人死啊…… 要了两波数据才搞定……

        - - - - - - - - - - - 分割线 - - - - - - - - - - - -

        好吧公式太多我还是发图片吧 = =







#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "iostream"
#include "math.h"
#include "vector"
#define inf 2e9
#define rep(f,a,b) for(f=a;f<=b;f++)
using namespace std;

typedef long long ll;
ll pri[20],ti[20],n,m,a[10],val[20];
vector <ll> tot[20]; ll tmp,cnt,P;

void init(){
scanf("%lld%lld%lld",&P,&n,&m); ll i,k=P,j;
for (i=2; k!=1; i=i*i>k?k:i+1) {
if (k%i==0) { pri[++cnt]=i; val[cnt]=1;
while(k%i==0) ti[cnt]++,k/=i,val[cnt]*=i;
}
} rep(i,1,cnt) { tot[i].push_back(tmp=1);
rep(j,1,val[i]){ //k=j;
if(j%pri[i]!=0) //k/=pri[i];
tmp=tmp*j%val[i];
tot[i].push_back(tmp);
}
} ll sum=0; rep(i,1,m)
scanf("%lld",&a[i]),sum+=a[i];
if(sum>n)puts("Impossible"),exit(0);
}

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1,y=0; return ;}
exgcd(b,a%b,x,y);
ll t=x; x=y; y=t-a/b*x;
}

ll prit(ll a,ll p){
ll ans=0; while (a) ans+=a/=p; return ans;
}

ll quick_mult(ll a,ll t,ll mod){
ll c=1,k=a;
while (t){
if(t%2) c=c*k%mod;
k=k*k%mod; t>>=1;
} return c;
}

ll dmult(ll n,ll pos){ if(n==0) return 1;
ll k=quick_mult(tot[pos][val[pos]],n/val[pos],val[pos]);
k=k*dmult(n/pri[pos],pos)%val[pos];
k=k*tot[pos][n%val[pos]]%val[pos];
return k;
}

ll C(ll n,ll m,ll pos){
#define vp val[pos]
#define pp pri[pos]
ll a=dmult(n,pos),b=dmult(m,pos),c=dmult(n-m,pos),ans=a;
ll t1=prit(n,pp),t2=prit(m,pp),t3=prit(n-m,pp); ll x,y;
ll tm=t1-t2-t3; if(tm>=ti[pos]) return 0; exgcd(b,vp,x,y);
while(x<0) x+=vp,y-=b; ans=ans*x%vp; exgcd(c,vp,x,y);
while(x<0) x+=vp,y-=c; ans=ans*x%vp; ll rmod=1;
while(tm--) rmod*=pri[pos]; ans=ans*rmod%vp;
return ans;
}

void work(){
ll i,j,v[20]; ll ans=1,crd;
rep(i,1,m){
rep(j,1,cnt) v[j]=C(n,a[i],j);
ll x,y; crd=0; rep(j,1,cnt){ ll q=P/val[j];
exgcd(q,val[j],x,y); while(x<0) x+=val[j],y-=q;
crd=(crd+v[j]*x%P*q)%P;
} ans=ans*crd%P; n-=a[i];
} printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
init(); work();
return 0;
}