陶哲轩实分析 5.2 节习题试解

陶哲轩实分析 5.2 节习题试解

5.2.1

设 是个 Cauchy 序列， 是与 等价的序列，证明 也是 Cauchy 序列。

证明：

因为 是个 Cauchy 序列。所以对于任意的 ，都存在一个 ， 当 时，满足 。

因为 是与 等价的序列。所以对于任意的 ，都存在一个 ，当 时满足 。

对于任意的 ，设 。则，当 时，有：

所以 也是 Cauchy 序列。

5.2.2

设 是个有界序列， 是与 终极 - 接近的，证明 也是有界序列。

证明：

是个有界序列。那么存在一个 ，对任意的 ，满足 。

因为 是与 终极 - 接近的。

所以存在一个 ，当 时，有 。

所以当 时，有

是个有限长度序列，必然是有界的，也就是说存在一个 ，满足：

当 时，。

取 。则对任意的 都有 。

所以 是个有界序列。