陶哲轩实分析 5.1 节习题试解

陶哲轩实分析 5.1 节习题试解

这一节只有一道习题。证明有理数 Cauchy 序列是有界的。

证明：

设 (an)∞n=0(a_n)_{n=0}^{\infty} 是个 Cauchy 序列。

那么根据 Cauchy 序列的定义，对于 ε=1\varepsilon = 1， 存在一个自然数 N≥0N \geq 0，当 i,j≥Ni, j \geq N 时，满足 |ai−aj|≤ε|a_i - a_j| \leq \varepsilon，取 j=Nj = N，有 |ai−aN|≤1|a_i - a_N| \leq 1。

所以，当 i≥Ni \geq N 时，有 |ai|≤|aN|+1|a_i| \leq |a_N| + 1

另外，当 i<Ni < N 时，aia_i 是有限序列，必然是有界的。

也就是说，存在一个 MM，当 i<Ni < N 时，|ai|≤M|a_i| \leq M

设 M′=max(M,|aN|+1)M' = \max(M, |a_N| + 1)

对任意的 ana_n 都有 |an|<M′|a_n| < M'

所以 (an)∞n=0(a_n)_{n=0}^{\infty} 是有界的。