【学习小记】用splay维护序列
2016-05-22 14:04
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在熟悉了伸展树的操作后,就可以用它来维护序列了ㄟ(≧◇≦)ㄏ
splay操作可以把一个节点x旋到根,那么也可以把x旋到另一个节点y的下面(即fa[x]=y)。
那么定义过程splay(x,f)为把x旋转到f下面
然后对于区间操作,我们可以提取区间,然后在这个子树的根加个标记。splay操作时可以下传标记。这样就可以完成线段树能做的操作了。
那么可以把a旋转到根,然后把a+1旋转到根下面。a+1的左子树必然为空。然后把插入的数用分治法构成一棵平衡二叉树(每次以区间的中间一个数为根,然后处理左右子树),把它挂在a+1的左儿子上。
删除很容易,把要删除的区间[l,r]按上面的提取区间方法提取出来,然后直接删去。
这两个操作是线段树无法做到的。
splay操作
伸展树的核心操作就是splay。splay操作可以把一个节点x旋到根,那么也可以把x旋到另一个节点y的下面(即fa[x]=y)。
那么定义过程splay(x,f)为把x旋转到f下面
维护区间
定义伸展树的中序遍历为它要维护的序列。提取区间
例如我们要提取区间[l,r]。可以先把节点l-1旋转至根,然后把r+1旋转到根的下面。那么r+1的左子树就是[l,r](此时r+1是l-1的右儿子),如图所示然后对于区间操作,我们可以提取区间,然后在这个子树的根加个标记。splay操作时可以下传标记。这样就可以完成线段树能做的操作了。
void Rotate(int x,int t) //t表示x是父亲的左/右儿子 { int y=fa[x]; push_down(y); push_down(x);//标记下传,这两个的顺序不能反 if (y!=root) { if (son[fa[y]][0]==y) son[fa[y]][0]=x;else son[fa[y]][1]=x; }else root=x; fa[x]=fa[y]; fa[y]=x; if (son[x][1-t]!=Null) fa[son[x][1-t]]=y; son[y][t]=son[x][1-t]; son[x][1-t]=y; Update(y);//更新节点的信息 } void splay(int x,int f) //如果要把一个节点旋转到根,那么f=Null。注意:x必须在f的子树上 { while (fa[x]!=f) { int y=fa[x],z=fa[y]; if (z==f) { if (son[y][0]==x) Rotate(x,0);else Rotate(x,1); }else { if (son[z][0]==y) { if (son[y][0]==x) { Rotate(y,0); Rotate(x,0); }else { Rotate(x,1); Rotate(x,0); } }else { if (son[y][1]==x) { Rotate(y,1); Rotate(x,1); }else { Rotate(x,0); Rotate(x,1); } } } } Update(x);//到最后才更新x,可以减少许多冗余运算 } void Select(int x,int f)//选取节点x,旋转至f下面 { x++; int i=root; while (size[son[i][0]]+1!=x)//size[x]表示以x为根的子树的大小 { if (size[son[i][0]]>=x) i=son[i][0];else { x-=size[son[i][0]]+1; i=son[i][1]; } } splay(i,f); }
插入&删除区间
假设现在要在位置a后面加若干个数。那么可以把a旋转到根,然后把a+1旋转到根下面。a+1的左子树必然为空。然后把插入的数用分治法构成一棵平衡二叉树(每次以区间的中间一个数为根,然后处理左右子树),把它挂在a+1的左儿子上。
删除很容易,把要删除的区间[l,r]按上面的提取区间方法提取出来,然后直接删去。
这两个操作是线段树无法做到的。
void init(int f,int &root,int l,int r)//用分治法建一个平衡二叉树 { root=(l+r)/2; fa[root]=f; if (l<root) init(root,son[root][0],l,root-1);else son[root][0]=Null; if (root<r) init(root,son[root][1],root+1,r);else son[root][1]=Null; Update(root); }
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