用卡特兰数求解对于给定序列有多少种出栈情况

出栈次序

X星球特别讲究秩序，所有道路都是单行线。一个甲壳虫车队，共16辆车，按照编号先后发车，夹在其它车流中，缓缓前行。路边有个死胡同，只能容一辆车通过，是临时的检查站，如图


X星球太死板，要求每辆路过的车必须进入检查站，也可能不检查就放行，也可能仔细检查。如果车辆进入检查站和离开的次序可以任意交错。那么，该车队再次上路后，可能的次序有多少种？为了方便起见，假设检查站可容纳任意数量的汽车。显然，如果车队只有1辆车，可能次序1种；2辆车可能次序2种；3辆车可能次序5种。现在足足有16辆车啊，亲！需要你计算出可能次序的数目。

求解：f(16) = C(32,16)/17 = 35357670

题目模拟的就是进出栈操作，而对于有n个元素的进出栈的可能情况可以通过组合数学中的卡特兰数求解。

卡特兰数其前几项（从0开始计）为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1] ：

h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2) 通项为h(n-k)(k-1)，下标求和后是（n-1）。

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式[2] ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,…) , （C(2n,n)表示2n里取n的组合数）

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,…)

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

分析：设f（n）=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则。由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。