最小生成树

n个点之间最多存在n(n-1)/2个边，但是在这么多点当中只需要n-1个边即可将n个点连接起来，称为生成树，这些的生成树中n-1个边的权值和最小的称为最小生成树。

如何生成最小生成树，基于最小生成树的MST性质，设顶点集为V，则存在其子集U和V-U,其一定含有一条权值最小的边(u,v)可以构成一个最小生成树。

普利姆算法：

设置一个辅助数组用以存放最小生成树的顶点。从一个顶点开始，先加入辅助数组，然后找到其权值最小的边，加入这个点至辅助数组中，再从辅助数组中的点开始找到其相邻的权值最小的边，依次这样下去，直至所有的点都在辅助数组中。



如上的无向图，从顶点1开始生成一个无向图：

将1加入辅助数组，寻找其相邻边：1->2:12 1->5:5 1->4:8

权值最小为5，将5加入辅助数组，现在多了一些邻接边：5->2:15 5->4:6 5->3:10 5->6:8

将4加入辅助数组，再寻找邻接边：4->6:4，将6加入。

在寻找邻接边：6->3:9，将3加入。邻接边：3->2:20，由于到达2的最小权值为：1->2:12，所以加入2这个点，但是路径为1->2。

最后生成的最小生成树为：

1->2

1->5->4->6->3.

上述的算法可以描述为：选取一个顶点，找寻其邻接边，判断邻接边的权值大小，将最小邻接边的顶点加入到辅助数组中，将辅助数组中的所有点的邻接边都找到，判断权值大小，将不在辅助数组中的最小的边对应的顶点加入，重复这个过程，直至所有的顶点均在辅助数组中。

void minTree(Graph G, Type u)

{

point=u;

site=Findnext(point);//找寻u的邻接边

point=min(site);//所有邻接边中权值最小边对应的点;

visited[point]=1;

for(point=0;point<G.max;point++)

if(visited[point]=1)

{

site=Findnext(point);

point=min(site);//所有邻接边中权值最小边对应的点;

visited[point]=1;

count++;

}

if(count>=G.max)

break;

}

上述方法可以很容易的得到结果。

克鲁斯卡尔算法：

将所有的带权边按照权值从小到大排好，然后依次挑选边，只要所选的边不成环即可，终止条件为选了n-1条边。

因此这个算法里有两个部分

1.按权值大小排序。

2.判断是否成环。

成环判断可以通过并查集的方法。