poj 2356 Find a multiple(鸽巢原理)

题意：给出一个数N，接着再给出N个数，要你从这N个数中任意选择1个或多个数，使得其和是N的倍数。

如果找不到这样的答案 则输出0。

答案可能有多个，但智勇任意输出一个解就行。

输出的第一行是选择元素的个数M，接着M行分别是选择的元素的值

思路：刚开始的时候并不同为什么这一题回事抽屉原理，分析后才有体会，实际上此题一定有解，不存在输出0的结果。

证明如下：

我们可以依次求出N个数中部分数字组合的情况（实际上组合的数目比下列这些多）：a[0],a[0]+a[1],a[0]+a[1]+a[2],......,a[0]+a[1]+a[2]...+a
；

假设分别是sum[0],sum[1],sum[2],......,sum

如果在某一项存在是N的倍数即sum[i]%N=0，可直接从第一项开始直接输出答案。

但如果不存在，则sum[i]%N的值必定在[1,N-1]之间，又由于有n项sum，有鸽巢（抽屉）原理：

把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

这里sum[i]%N的余数为巢，即N个巢，数字组合的数目为鸽子，即鸽子数目大于N个。

则必定有一对i，j，使得sum[i]=sum[j]，其中i！=j，不妨设j>i

则（sum[j]-sum[i]）%N=0，故sum[j]-sum[i]是N的倍数。

则只要输出从i+1～j的所有的a的值就是答案。

然后就利用这个思路就可以直接的解出该题的答案。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[10000] ;
int mod[10000] ;//mod存储判断sum%n是否出现过，如果没出现时-1，如果出现，则是此时sum对应的k值，即前k项和
int sum [10001];//sum存储的与描述略有不同，sum[k]=a[0]+a[1]+...+a[k-1]；
int main()
{
int n ;
int i ;
while ( cin >> n )
{
memset ( mod , -1 , sizeof ( mod ) ) ;
sum[0]=0;
for ( i = 0 ; i < n ; i ++ )
{
cin >> a[i] ;
}
for ( i = 0 ; i < n ; i ++ )
{
sum[i+1]=sum[i]+a[i];

if ( sum [i+1] % n == 0 )
{
//如果是N的倍数，则输出
int j ;
cout<<i+1<<endl;
for ( j = 0 ; j <= i ; j ++ )
cout<<a[j]<<endl;
break;
}
if ( mod[sum [i+1] % n]!=-1)
{
//如果找到两个数的余数相同，则依次输出
int j ;
cout<<i-mod[sum [i+1] % n]<<endl;
for ( j = mod[sum [i+1] % n]+1 ; j <= i ; j ++ )
cout<<a[j]<<endl;
break;
}
mod[sum [i+1] % n]=i;//将此时对应的余数存到mod中，值为此时的i
}
}
return 0;
}