最小公倍数、最大公约数的算法和辗转相除法

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求最小公倍数算法：

最小公倍数：数论中的一种概念，两个整数公有的倍数成为他们的公倍数，其中一个最小的公倍数是他们的最小公倍数，同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数

最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数

证明的话，我可能写法不会太严谨，还是举个栗子吧：

求最小公倍数的常规方法：

首先把两个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有质因数相同，则除去相同的质因数一次）。

比如求45和30的最小公倍数。

45=3*3*5

30=2*3*5

最小公倍数等于2*3*3*5=90，用最大公约数15（3*5）乘以各自的其他部分的质因数（2和3），既保障数字是最小的，也保障是他们共同的倍数

所以最小公倍数也可以表示为：3*3*5*2*3*5÷3*5 = 90

求最大公约数算法：

最小公约数：两个整数公有的约数成为他们的公约数，其中一个最大的公约数是他们的最大公约数

辗转相除法

1、用除法实现辗转相除法：

有两整数a和b：

① a%b得余数c

② 若c=0，则b即为两数的最大公约数

③ 若c≠0，则a=b，b=c，再回去执行①

例如求27和15的最大公约数过程为：

27÷15 余1215÷12余312÷3余0因此，3即为最大公约数

C语言描述：

void main()   /*  辗转相除法求最大公约数 */
{
int m, n, a, b, t, c;
printf("Input two integer numbers:\n");
scanf("%d%d", &a, &b);
m=a;   n=b;
while(b!=0)  /* 余数不为0，继续相除，直到余数为0 */
{ c=a%b; a=b;  b=c;}
printf("The largest common divisor:%d\n", a);
printf("The least common multiple:%d\n", m*n/a);
}

⑵ 用减法实现辗转相除法

有两整数a和b：

① 若a>b，则a=a-b

② 若a< b，则b=b-a

③ 若a=b，则a（或b）即为两数的最大公约数

④ 若a≠b，则再回去执行①

例如求27和15的最大公约数过程为：

27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )

12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )

6－3＝3( 3==3 )

因此，3即为最大公约数

C语言描述：

void main ( )  /* 相减法求最大公约数 */
{
int m, n, a, b, c;
printf("Input two integer numbers:\n");
scanf ("%d,%d", &a, &b);m=a; n=b;
/* a, b不相等，大数减小数，直到相等为止。*/
while ( a!=b)
if (a>b)  a=a-b;
else  b=b-a;
printf("The largest common divisor:%d\n", a);
printf("The least common multiple:%d\n", m*n/a);
}

辗转相除法的正确性证明

计算过程

辗转相除法是一种递归算法，每一步计算的输出值就是下一步计算时的输入值。设k表示步骤数（从0开始计数），算法的计算过程如下：

规定rk−1 为除数和rk−2为被除数，因为每一步计算出的余数都在不断减小，所以，rk−1 小于rk−2。

把上一次的除数和余数，当做这次的被除数和除数。

在第k步中，算法计算出满足以下等式的商qk和余数 rk：

rk−2 = qk rk−1 + rk

其中0 ≤ rk < rk−1。也就是rk−2要不断减去rk−1直到比rk−1小。

为求简明，以下只说明如何求两个非负整数a和b的最大公约数（负数的情况是简单的）。

第1步计算时（k = 0），设r−2和r−1分别等于a和b，

第2步（此时k = 1）时计算r−1（即b）和r0（第一步计算产生的余数）相除产生的商和余数，

以此类推。整个算法可以用如下等式表示：

a = q0 b + r0

b = q1 r0 + r1

r0 = q2 r1 + r2

r1 = q3 r2 + r3

…

如果有a < b，算法的第一步实际上会把两个数字交换，因为这时a除以b所得的商q0会等于0，余数r0则等于a。然后，算法的第二步便是把b除以a，再计算所得之商和余数。所以，对于k ≥ 0总有rk< rk−1，即运算的每一步中得出的余数一定小于上一步计算的余数。

由于每一步的余数都在减小并且不为负数，必然存在第N步时rN等于0，使算法终止，rN−1就是a和b的最大公约数。其中N不可能无穷大，因为在r0和0之间只有有限个自然数。

正确性的证明

辗转相除法的正确性可以分成两步来证明。

在第一步，我们会证明算法的最终结果rN−1同时整除a和b。因为它是一个公约数，所以rN−1<=最大公约数g。

在第二步，我们证明g能整除rN−1。所以g<=rN−1。

两个不等式只在rN−1 = g是同时成立。

具体证明如下：

1、证明rN−1同时整除a和b：

因为余数rN是0，rN−1能够整除rN−2：

rN−2 = qN rN−1

因为rN−1能够整除rN−2，所以也能够整除rN−3：

rN−3 = qN−1 rN−2 + rN−1

同理可证rN−1可以整除所有之前步骤的余数，包括a和b，即rN−1是a和b的公约数，rN−1 ≤ g。

2、证明最大公约数g能整除rN−1：

根据定义，a和b可以写成g的倍数：a = mg、b = ng，其中m和n是自然数。

因为r0 = a − q0b = mg − q0ng = (m − q0n)g，所以g整除r0。

同理可证g整除每个余数r1, r2, …, rN-1。因为最大公约数g整除rN−1，因而g ≤ rN−1。

因为第一步的证明告诉我们rN−1 ≤ g，所以g = rN−1。

参考：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BC%BE%E8%BD%89%E7%9B%B8%E9%99%A4%E6%B3%95

http://blog.csdn.net/iwm_next/article/details/7450424

http://blog.csdn.net/yangzhongblog/article/details/10255259