【结论】【数论】欧拉定理

1、欧拉函数：phi[x]表示小于x且与x互质的数的个数，规定phi[i]=1。

（1）、通式

1）： phi[i]=x* (1-1/p1)* (1-1/p2)* ……(1-1/pn)；

（pi为x所有质因数）

2）： 若x=a^k，则phi[i]=a^k-a^(k-1)=(a-1)*a^(k-1)

(2)、性质

1)、是积性函数：若x，y互质，则phi[x* y]=phi[x]*phi[y]

2)、若想x&1==1，phi[2x]=phi[x]

3)、若x为质数，phi[x]=x-1

4)、若x>2，phi[x]为偶数

2、欧拉定理：若a，n互质，则a^(phi
)≡1(mod n)

应用：用欧拉定理降幂

a^b%n==a^(b%phi
)%n (a,n互质)

a^b%n==a^(b%phi
+phi
)%n (b>=phi
)

eg：求7^2222222的个位……

3、求欧拉函数代码

/* 算数基本定理：任何一个大于1的自然数n，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 */

（1）、直接求单个

int f(int k)
{
int ans=k,a=k;
for(int i=2;i*i<=a;i++)
{
if(a%i==0)
{
ans-=ans/i;
while(a%i==0) a/=i;
}
}
if(a>1) ans-=ans/a;
//处理有一个因子大于sqrt（n）的情况
return ans;
}

（2）、筛选法

void f(ll n)
{
for(int i=1;i<=n;i++) phi[i]=i;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(phi[i]!=i) continue;
for(int j=i;j<=n;j+=i) phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
//先除后乘，防止溢出
}
}