【结论】【数论】拓展欧几里得算法、费马小定理

1、欧几里得原理

（1）欧几里得算法

int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

（2）、拓展欧几里得：在已知a、b的情况下，求x*a+b*y=gcd(a,b)的一组整数解

1)、推导：

/* 设 a* x1+b* y1=gcd(a, b)， b* x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b);

因为 gcd(a, b)==gcd(b, a%b)

所以 a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2　　

设 r=a%b, r =a-k* b

则 a* x1+b* y1=b* x2+(a-k* b)*y2 　　

a* x1+b* y1=b* x2+(a-(a/b)* b)*y2 　　

a* x1+b* y1=b* x2+a*y2-b*(a/b)*y2　　

a* x1+b* y1=a* y2+b* (x2+(a/b)y2) /

即 x1=y2，y1=x2+a/b*y2

2）、代码：

long long ex_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
return a;
}
long long r,y1,x1;
r=gcd(b,a%b,x1,y1);
x=y1,y=x1-a/b*y1;
return r;
}
//当不用判断a，b是否互质时可写为：
void ex_gcd(lnog long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
return;
}
long long x1,y1;
ex_gcd(b,a%b,x1,y1);
x=y1;y=x1-a/b*y1;
}

（3）、应用

1）、判断a* x+b*y=c有无整数解：

设 d=gcd（a，b）；

if（c%d！=0）无解 else 有解

2）、求a* x+b*y=c通解

设a* x+b*y=d=gcd（a，b）的解为x0、y0

则a* x+b*y=c的解为 x=x0*c/d y=y0*c/d

通解为 x=x0*c/d+k*b/d y=y0*c/d-k*a/d （k为整数）

3）、解模线性方程

//模线性方程：形如 “ax≡1（mod n)” 的方程

设（ax-b）=ny ，则ax-ny=b….

eg: NKOJ 1886 http://blog.csdn.net/Y__XV/article/details/51458654

4）、求乘法逆元

详见后

2、费马小定理：若p为质数，且a、p互质，则a^(p-1)≡1（mod p）

应用：求乘法逆元

详见后

3、乘法逆元：ax≡1（mod n)的最小正整数解称为a关于模n的乘法逆元。

（1）、存在条件：an-ny=1有解

（2）、求法

1）、拓欧求

long long inverse(long long a)
{
long long x,y;
if(gcd(a,n,x,y)==1) return (x+n)%n;
return -1;
}

2）、费马小定理求

设x关于模n的乘法逆元为x0，则（x*x0)≡1（mod n)

又因为x^(t-1)≡1（mod n）

x0=x^(t-2)

（3）、应用：

1)、逆元(a/b)%p==(a*b0)%p

2)、降幂(a^b%p=a^(b%(p-1))%p)