RSA 加密及算法实现

RSA 加密概述

RSA使用公开密钥密码体制。所谓的公开密钥密码体制就是使用不同的加密密钥与解密密钥，是一种“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。

在公开密钥密码体制中，加密密钥（即公开密钥）PK是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥）SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。虽然解密密钥SK是由公开密钥PK决定的，但却不能根据PK计算出SK。

RSA广泛应用于计算机网络及通信领域，是目前使用最广泛的加密算法

RSA 加密过程

RSA 加密使用的数学知识

素数

　素数又称质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。

互质数

指两个数中,最大公因子为1的数称为互质数,不是质数也可以构成互质关系。如15和32。

欧拉函数

也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

理解欧拉函数是掌握RSA加密的关键

模反元素

加密算法

随意选择两个大的质数p和q，p不等于q，计算N=p*q。

根据欧拉函数，求得r = (p-1)(q-1)

选择一个小于 r 的整数 e，求得 e 关于模 r 的模反元素，命名为d。（模反元素存在，当且仅当e与r互质）

将 p 和 q 的记录销毁。

算法示例

已知RSA算法中，素数p=5，q=7，模数n=35，公开密钥e=5，密文c=10，求明文。手工完成RSA公开密钥密码体制加密运算。

解：

1. 求出n = p*q = 35;

2. 根据欧拉函数r = (p-1)*(q-1) = 24;

3.题中e = 5，满足e < r ,并且e r 互质.

4.求出d，e*d%t == 1 d为e的模反元素

5. 此时e,d,n均以求出，开始进行加密.

6. 密文c进行反向解密

7. M = c^d%n = 10^5%35 = 5;

8. 明文为5

9. ======用加密进行验算=======

10. m = M^e%n = 10 == c 结果正确

这个例子中，（n，e）为私钥，（n，d）为公钥，可以看出加密用的是公钥，解密用的是私钥。

所以数字签名广泛使用RSA算法

RSA也可以用来为一个消息署名。假如甲想给乙传递一个署名的消息的话，那么她可以为她的消息计算一个散列值(Message digest)，然后用她的密钥(private key)加密这个散列值并将这个“署名”加在消息的后面。这个消息只有用她的公钥才能被解密。乙获得这个消息后可以用甲的公钥解密这个散列值，然后将这个数据与他自己为这个消息计算的散列值相比较。假如两者相符的话，那么他就可以知道发信人持有甲的密钥，以及这个消息在传播路径上没有被篡改过。

再来一个示例：

假设p = 3、q = 11（p，q都是素数即可。），则N = pq = 33；

r = (p-1)(q-1) = (3-1)(11-1) = 20；

根据模反元素的计算公式，我们可以得出，e·d ≡ 1 (mod 20),即e·d = 20n+1 (n为正整数)；我们假设n=1，则e·d = 21。e、d为正整数，并且e与r互质，则e = 3，d = 7。（两个数交换一下也可以。）

到这里，公钥和密钥已经确定。公钥为(N, e) = (33, 3)，密钥为(N, d) = (33, 7)。

编程实现

import java.util.Scanner;

public class RSATest {
private static int KeyE; // 公钥
private static int KeyD; // 私钥
private static long MSG;  // 待加密消息
private static int BASE = 3*11; // 基数,两个质数相乘

// 输入格式，请依次输入公钥，私钥和待加密的数据
// 如 7 3 5
public static void main(String[] args) {
Scanner scan = new Scanner(System.in);
KeyE = scan.nextInt();
KeyD = scan.nextInt();
MSG = scan.nextInt();
long encodeMsg = (long) Math.pow(MSG, KeyE)%BASE;
long decodeMsg = (long) (Math.pow(encodeMsg, KeyD)%BASE);
System.out.println("原数据:"+MSG);
System.out.println("加密后数据: "+encodeMsg);
System.out.println("解密加密后的数据: "+decodeMsg);
scan.close();
}
}