斐波那契数列的数学分析

请用数学归纳法证明，F0=1,F1=1,F2=1,F3=2,…,，Fi=Fi−1+Fi−2，对 i≥1，Fi<(5/3)i。

我们假设定理对于 i=1,2,…,k 成立，我们的目标即为只需证明 Fk+1<(5/3)k+1，

Fk+1=Fk+Fk−1<(5/3)k+(5/3)k−1=(3/5)(5/3)k+1+(3/5)2(5/3)k+1=24/25(5/3)k+1<(5/3)k+1

类似的方法（数学归纳法，假设前面 k 项均成立，只需证明第 k+1 项成立即可）我们可证明 Fk≥(3/2)k

所以最终：

(32)N<FN<(53)N

左侧的不等式隐隐约约似乎在说，递归版的斐波那契数列算法的时间复杂度以指数的速度增长。还需一步简单的证明：

long int Fib(int N)
{
if (N <= 1)
return N;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}

则，关于

Fib(N)

的运行时间公式为：

T(N)=T(N−1)+T(N−2)+2

2 表示一次 if 判断，一次加法；

由数学归纳法证得：T(N)>Fib(N)，

T(N+1)=T(N)+T(N−1)+2>Fib(N)+Fib(N−1)+2=Fib(N+1)+2

又F(N)>(32)N，则可知程序的运行时间以指数的速度增长。

斐波那契数列与黄金分割比的关系

斐波那契数与黄金分割比 ϕ 及其共轭数 ϕ̂ ，它们是下列方程的两个根：

x2=x+1

并由下式给出：

ϕ=1+5√2=1.61803…ϕ̂ =1−5√2=−0.61803…

特别地我们有：

Fi=ϕi−ϕi^5√

可用数学归纳法证明：

Fi+1=Fi+Fi−1====ϕi−ϕi^+ϕi−1−ϕi−1^5√ϕi−1(ϕ+1)−ϕi−1^(ϕ̂ +1)5√ϕi−1ϕ2−ϕi−1^ϕ̂ 25√ϕi+1−ϕ̂ i+15√

这蕴含着：

Fi=⌊ϕi5√+12⌋

可见斐波那契数以指数形式增长。