加权中位数应用：油井加权的输油管道位置选取

普通的输油管道问题: 某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经(或南或北)与主管道相连。如果给定n口油井的位置, 即它们的x坐标（东西向）和y坐标（南北向）, 应如何确定主管道的最优位置, 使得各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置。

油井加权的输油管道问题：若考虑每个油井带有一个权重，求解目标变为加权距离和最小。假设最优位置为P，那么应该有如下不等式成立：

∑D(i)d(i,P)≤∑D(i)d(i,R),i≠P,i≠R

其中D(i)为油井权重，d(i,p)为油井到输油管道的距离，∑D(i)d(i,P)为所有油井到输油管道的加权距离和, P为最优位置，R为输油管道的其他位置。



有以下等式成立：

∑D(I)d(I,P)+∑D(J)d(J,P)+∑D(R)d(R,P)≤

∑D(I)d(I,R)+∑D(J)d(J,R)+∑D(P)d(P,R), 其中I<P<R<J，I、J为油井位置，P、R为输油管道位置。

移项：

∑D(I)d(I,P)−∑D(I)d(I,R)≤∑D(J)d(J,R)−∑D(J)d(J,P)+∑D(P)d(P,R)−∑D(R)d(R,P)

整理：

∑D(I){d(I,P)−d(I,R)}≤∑D(J){d(J,R)−d(J,P)}

简化：

∑D(I)≤∑D(J)。

未完，还需参考下算法导论。到这推不动了。