动态规划——最长上升子序列

题目描述：求出一个数组最长上升子序列长度。

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).长度为4.

//递归方法：找出递推公式，即DP的状态转移方程。
//k表示以data[k]结尾，mostLength求以以data[k]结尾的最长上升子序列的长度。
public int  mostLength(int []data,int k)
{
if(k == 0)
return 1;
int max=0;
for(int i=0;i<k;i++)
{
if(data[i]<data[k])
{
if(mostLength(data,i)>max)
{
max=mostLength(data,i);
}
}
}
return max+1;
}

//自底向上的方法
//定义一个数组lengh，length[i]用来存放以data[i]结尾的最长上升子序列的长度;
public void  mostLength_DP(int []data)
{
int []length=new int[data.length];

length[0]=1;

for(int i=1;i<data.length;i++)
{
int temp=0;
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(data[j]<data[i])
{
if(temp<length[j])
{
temp=length[j];
path[i]=j;//path[i]存放最大上升序列本次i的前一个数的下标j;
}
}
}
length[i]=temp+1;
}
System.out.println(Arrays.toString(length));
}

//构造最优解：
//用一个数组存放最优解下标；
int path[]=new int[15];
public void path_trace(int[] data,int []path,int k)//k为当前所需打印的值的下标；
{
if(k == 0)
{
System.out.print(data[k]);
return ;
}
path_trace(data,path,path[k]);//path[k]为序列中前一个数字的下标；
System.out.print(data[k]);
}