归并排序

归并排序是分治思想的一个应用，其将原问题分解成规模比较小的问题求解，然后再组合成原问题的解。在讲解归并排序之前，先要编写一个将两个有序数组合并成一个有序数组的程序。

int* merge(int *a1, int *a2, int n1, int n2)
{
int *result = (int *)malloc(sizeof(int)*(n1 + n2));
int *temp = result;
int i = 0, j = 0;
while (i < n1 && j < n2)
{
if (*a1 < *a2)
{
*temp++ = *a1++;
i++;
}
else
{
*temp++ = *a2++;
j++;
}

}
while (i < n1)
{
*temp++ = *a1++;
i++;
}
while (j < n2)
{
*temp++ = *a2++;
j++;
}
return result;
}

上述程序将有序数组a1和a2合并成一个新的有序数组，其中n1和n2分别为a1和a2的大小。合并的方法很简单，依次遍历数组a1和a2，将小的元素插入到新数组对应位置中即可。因为a1和a2本身就是有序的，所以合并之后的数组也是有序的。

例如a1={1,2,3,4,5}，a2={2,3,5,6,7,8,9}，i和j分别指向a1和a2的当前元素，初始化为i=0，j=0，合并的新数组为result，那么合并的流程如下：

result={1}，i=1，j=0

result={1,2}，i=2，j=0

result={1,2,2}，i=2，j=1

result={1,2,2,3}，i=3，j=1

result={1,2,2,3,3}，i=3，j=2

......

result={1,2,2,3,3,4,5,5,6}，i=5，j=4

result={1,2,2,3,3,4,5,5,6,7}，i=5，j=5

......

result={1,2,2,3,3,4,5,5,6,7,8,9}

特别的，针对上述合并过程，对于只有一个元素的数组，合并过程就是简单的比较过程，因为只有一个元素的数组肯定是有序的。

归并排序就是基于上述合并过程工作的。归并排序将要排序的数组划对半分成两个数组，然后对这两个数组调用同样的归并过程，最后将它们合并。

假设有一个8元素数组，其归并排序的过程如下图的归并树所示。



其实归并排序是一个自底向上的过程，例如上图中的8元素数组，其先将数组划分成单元素，然后相邻两个元素进行合并，得到4个新的有序数组，然后继续相邻两个数组进行合并，得到两个新的有序数组，最后再合并得到数组排序后的结果。上图的归并树的每一层的合并过程，不管是多少组数组进行两两合并，其过程也只是遍历一次原数组的全部元素而已，故其时间复杂度为O(n)，而树的高度为lg(n)，所以归并排序的时间复杂度为O(nlg(n))。

void mergeSort(int *arr, int n)
{
if (n <= 1)
{
return;
}
mergeSort(arr, n / 2);
mergeSort(arr + n / 2, n - n / 2);
int *result = merge(arr, arr + n / 2, n / 2, n - n / 2);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
*arr++ = *(result+i);
}
free(result);
}

由于归并排序是一种变址排序，所以上述代码在归并完成后需要对原数组重新赋值。其实如果没有必要，也可以不这样做，直接返回排序后的数组即可。