平面分割问题

问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。

解：设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图3-13可以看出：a2-a1=2；a3-a2=4；a4-a3=6。



从这些式子中可以看出an-an-1=2(n-1)。当然，上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成an-1个区域后，第n-1条曲线每与曲线相交一次，就会增加一个区域，因为平面上已有了n-1条封闭曲线，且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好相交于两点，且不会与任两条曲线交于同一点，故平面上一共增加2(n-1)个区域，加上已有的an-1个区域，一共有an-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是an=an-1+2(n-1)，边界条件是a1=1。

平面分割问题是竞赛中经常触及到的一类问题，由于其灵活多变，常常感到棘手，下面的例8是另一种平面分割问题，有兴趣的读者不妨自己先试着求一下其中的递推关系。

例8、平面分割

同一平面内有n（n≤500）条直线，已知其中p（p≥2）条直线相交于同一点，则这n条直线最多能将平面分割成多少个不同的区域？

p条相交于一点的直线，分成的区域为2p个在已有直线k(k>=p)的基础上，每增加一条直线，会增加k+1个区域，

∴fm=fm-1+m(m>p)便捷fp=2p