LCA(倍增在线算法) codevs 2370 小机房的树

codevs 2370 小机房的树

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题目等级 : 钻石 Diamond
题目描述 Description

小机房有棵焕狗种的树，树上有N个节点，节点标号为0到N-1，有两只虫子名叫飘狗和大吉狗，分居在两个不同的节点上。有一天，他们想爬到一个节点上去搞基，但是作为两只虫子，他们不想花费太多精力。已知从某个节点爬到其父亲节点要花费 c 的能量（从父亲节点爬到此节点也相同），他们想找出一条花费精力最短的路，以使得搞基的时候精力旺盛，他们找到你要你设计一个程序来找到这条路，要求你告诉他们最少需要花费多少精力

输入描述 Input Description

第一行一个n，接下来n-1行每一行有三个整数u，v, c 。表示节点 u 爬到节点 v 需要花费 c 的精力。
第n+1行有一个整数m表示有m次询问。接下来m行每一行有两个整数 u ，v 表示两只虫子所在的节点

输出描述 Output Description

一共有m行，每一行一个整数，表示对于该次询问所得出的最短距离。

样例输入 Sample Input

3

1 0 1

2 0 1

3

1 0

2 0

1 2

样例输出 Sample Output

1

1

2

数据范围及提示 Data Size & Hint

1<=n<=50000， 1<=m<=75000， 0<=c<=1000

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最近公共祖先 图论
资料来自：http://www.tuicool.com/articles/N7jQV32 http://www.cnblogs.com/wuminye/p/3532397.html

最近公共祖先 LCA 倍增法

【简介】

解决LCA问题的倍增法是一种基于倍增思想的在线算法。

【原理】

原理和同样是使用倍增思想的RMQ－ST 算法类似,比较简单，想清楚后很容易实现。

对于每个节点u , ancestors[u][k] 表示 u 的第2k个祖先是谁。很容易就想到递推式： ancestors[j][i] = ancestors[ancestors[j][i - 1]][i - 1]; 根据二进制原理，理论上 u 的所有祖先都可以根据ancestors数组多次跳转得到，这样就间接地记录了每个节点的祖先信息。
查询LCA(u,v)的时候：
（一）u和v所在的树的层数如果一样，令u'=u。否则需要平衡操作（假设u更深），先找到u的一个祖先u', 使得u'的层数和v一样，此时LCA(u,v)=LCA(u',v) 。证明很简单：如果LCA(u,v)=v , 那么u'一定等于v ;如果LCA(u,v)=k ，k!=v ，那么k 的深度一定小于 v ， u、u'、v 一定在k的子树中；综上所述，LCA(u,v)=LCA(u',v)一定成立。

（二）此时u' 和 v 的祖先序列中一开始的部分一定有所重叠，重叠部分的最后一个元素（也就是深度最深，与u'、v最近的元素）就是所求的LCA(u,v)。这里ancestors数组就可以派上用场了。找到第一个不重叠的节点k，LCA(u,v)=ancestors[k][0] 。 找k的过程利用二进制贪心思想，先尽可能跳到最上层的祖先，如果两祖先相等，说明完全可以跳小点，跳的距离除2，这样一步步跳下去一定可以找到k。

1. DFS预处理出所有节点的深度和父节点

inline void dfs(int u)
{
int i;
for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])
{
if (!deep[to[i]])
{
deep[to[i]] = deep[u]+1;
p[to[i]][0] = u; //p[x][0]保存x的父节点为u;
dfs(to[i]);
}
}
}
2. 初始各个点的2^j祖先是谁 ,其中 2^j (j =0...log(该点深度))倍祖先，1倍祖先就是父亲，2倍祖先是父亲的父亲......。

void init()
{
int i,j;
//p[i][j]表示i结点的第2^j祖先
for(j=1;(1<<j)<=n;j++)
for(i=1;i<=n;i++)
if(p[i][j-1]!=-1)
p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];//i的第2^j祖先就是i的第2^(j-1)祖先的第2^(j-1)祖先
}
3.从深度大的节点上升至深度小的节点同层，如果此时两节点相同直接返回此节点，即lca。

否则，利用倍增法找到最小深度的 p[a][j]!=p[b][j]，此时他们的父亲p[a][0]即lca。

int lca(int a,int b)//最近公共祖先
{
int i,j;
if(deep[a]<deep[b])swap(a,b);
for(i=0;(1<<i)<=deep[a];i++);
i--;
//使a，b两点的深度相同
for(j=i;j>=0;j--)
if(deep[a]-(1<<j)>=deep[b])
a=p[a][j];
if(a==b)return a;
//倍增法，每次向上进深度2^j，找到最近公共祖先的子结点
for(j=i;j>=0;j--)
{
if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j])
{
a=p[a][j];
b=p[b][j];
}
}
return p[a][0];
}

附上题解：

#define N 50100
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define L 17
struct Edge{
int v,last,c;
}edge[N*6];
int head
,p
[L];
int deep
={0};
int root
={0};
long long dis
={0};
int n,m,u,v,c,t=0;
void add_edge(int u,int v,int w)
{
++t;
edge[t].v=v;/*建边*/
edge[t].c=w;
edge[t].last=head[u];
head[u]=t;
//root[u]++;
}
void input()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;++i)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
add_edge(u,v,c);
add_edge(v,u,c);
}
memset(p,-1,sizeof(p));/*因为节点编号是从0开始的，所以把祖先不存在，设为-1*/
}
void dfs(int u,long long di)
{
dis[u]=di;/*统计u到根节点的距离*/
for(int l=head[u];l;l=edge[l].last)
{
if(!deep[edge[l].v])
{
deep[edge[l].v]=deep[u]+1;/*处理孩子的深度*/
p[edge[l].v][0]=u;/*初始化p数组*/
dfs(edge[l].v,di+edge[l].c);
}
}
}
void init()
{
int i,j;
for(j=1;(1<<j)<n;j++)
for(int i=0;i<n;++i)
if(p[i][j]=-1)
p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];/*DP处理出i的所有2^j祖先是谁*/
}
int lca(int a,int b)/*求最近公共祖先*/
{
int i,j;
if(deep[a]<deep[b]) swap(a,b);
for(i=0;(1<<i)<=deep[a];++i);
i--;/*i为估计a到根节点的最远距离，下边的平衡操作，跳点从i开始，一定可以实现*/
for(j=i;j>=0;--j)
if(deep[a]-deep[b]>=(1<<j))/*倍增缩短a与b之间的距离*/
a=p[a][j];
if(a==b) return a;/*当a和b到了同一深度的时候，判断是否已经相同了*/
for(int j=i;j>=0;--j)
{
if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j])
{
a=p[a][j];/*最终的a是lca的子节点*/
b=p[b][j];
}

}/*先大步大步的蹦，每蹦一步，路程减少，下次蹦前一次的一半，直到蹦不了了，就是答案*/
return p[a][0];
}
/*当a有祖先，并且a，b的祖先不相同的时候，（我们想要寻找的就是lca的子节点，也就是最小深度的p[a][j]!=p[b][j]），根据二进制原理，一定可以通过各种组合走到每一个祖先*/
int main()
{
input();
dfs(0,0);/*题目意思是0为根节点*/
/*for(int i=0;i<n;++i)
{
if(root[i]==2)
{
dfs(i,0);/*如果是一棵二叉树，可以统计出度为2的点是根节点*/
break;
}
}*/
init();
scanf("%d",&m);
while(m--)
{
scanf("%d%d",&u,&v);
int zu=lca(u,v);/*在线算法，可以按照顺序查询*/
cout<<dis[u]+dis[v]-2*dis[zu]<<endl;/*求最近距离的公式*/
}
return 0;
}