一文搞懂算法的时间复杂度与空间复杂度

一 时间复杂度的概念

　　一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一函数f(n),因此，算法的时间复杂度记做 T(n) = O(f(n))。 随着模块n的增大，算法执行的时间增长率f(n)的增长率成正比，所以f(n)越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

　　时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)

　　

　　举个简单的例子：

int value = 0;                    // 执行了1次
for (int i = 0; i < n; i++) {     // 执行了n次
value += i;
}

　　这个算法执行了 1 + n 次，如果n无限大，我们可以把前边的1忽略，也就是说这个算法执行了n次。时间复杂度常用大O符号表示，这个算法的时间复杂度就是O(n)。

二 计算时间复杂度

计算出基本操作的执行次数T(n)

　　基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

计算出T(n)的数量级

　　求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：

忽略常量、低次幂和最高次幂的系数，令f(n)=T(n)的数量级。

用大O来表示时间复杂度

　　当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

　　只保留最高阶项，最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

用一个例子来表明以上的步骤：

for（i=1;i<=n;++i）
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2
for(k=1;k<=n;++k)
c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^3
}
}

第一步计算基本语句执行次数：T（n）= n^2+n^3；

第二步T（n）的同数量级，我们可以确定 n^3为T（n）的同数量级；

第三步用大O表示时间复杂度：T（n）=O（n^3)。

三 常见的时间复杂度

执行次数函数	阶	名称
3	O(1)	常数阶
2n+3	O(n)	线性阶
3n2+2n+1	O(n2)	平方阶
5log2n+2	O(log2n)	对数阶
2n+3nlog2n+1	O(nlogn)	nlog2n阶
6n3+2n2+3n+4	O(n3)	立方阶
2n	O(2n)	指数阶

最常见的多项式时间算法复杂度关系为：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3)

指数时间算法复杂度关系为：

O(2n) < O(n!)< O(nn)

举个例子来说明上述的时间复杂度：

i=1;       // 执行次数：1
while (i<=n)
i=i*2;
// 频度为f（n），2^f(n)<=n;f(n)<=log2n
// 每次i*2后，距离结束循环更近了。也就是说有多少个2相乘后大于n。
// 取最大值f(n)=log2n,T(n)=O(log2n )

四 复杂情况的时间复杂度分析

1.并列循环复杂度分析

for (i=1; i<=n; i++)
　　for (j=1; j<=n; j++)
　　        x++;     //O（n2）

2.函数调用的复杂度分析

public void printsum(int count){
int sum = 1;
for(int i= 0; i<n; i++){
sum += i;
}
System.out.print(sum);
}

　　记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。

　　所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

五　空间复杂度

　　空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。

　　比如直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了，因为每次递归都要存储返回信息。

　　例如关于O(1)的问题， O(1)是说数据规模和临时变量数目无关，并不是说仅仅定义一个临时变量。举例：无论数据规模多大，我都定义100个变量，这就叫做数据规模和临时变量数目无关。就是说空间复杂度是O(1)。