【树链剖分】树链剖分讲解

是什么？

将树的所有边剖分成重边和轻边从而便于维护边权信息和进行修改，应对一系列大数据树上修改查询问题。

为什么？

如果不进行剖分代价会很大：对树上边（u，v）中的边权查询修改，必然要将边权建立成搜索树或查询树进行维护，对于所有边建立后对于（u，v）修改时只能将（u，v）中所有边进行遍历修改，最坏代价（退化成链）为n*查询修改代价。而如果把（u，v）中的边变成连续的一段区间，就会大大降低时间代价。

怎么做？

{正常的题解在这里都会下一堆定义，什么重边重孩子，我觉得不容易理解}

想把（u，v）这条边变成一段可以查找的连续区间，一定要对边进行一个重新的分类和排序，对于检索也会有要求，如果我不能把（u，v）变成一段全连续的区间，但是如果能变成几部分也是很好的。

而相对理想的就是变成log2n个区间。

有的人说树链剖分就是把树边hash到log2n个区间上。

下面我只能开始下定义了（由于本人才疏学浅，没法证明根到某一点中轻重边不大于log2n，也没法证明这个是怎么想到的）

首先记：

节点n子树节点数个数size
；

节点n深度deep
;

节点n父节点fa
;

重孩子：儿子节点所有孩子中size最大的；

轻孩子：儿子节点中除了重儿子的；

重边：连接重儿子的边；

轻边：连接轻儿子的边；

重链：重边连成的链；

轻链：轻边连成的链；

再定义：

hson
表示n的重儿子标号；

top
表示n在的重链的顶节点，不在重链上为自己标号。

id
表示剖分后的节点标号；

性质

从根节点到任意节点路径上轻重边数量不大于log2n（别问我为什么）；

实现方法

其实很简单，第一遍跑一遍dfs求出刚才说的size，deep，hson；

然后再一遍dfs求出top，id；

对应id算出val[id]表示id这个点下面连的边的权值。

对val建检索树，排序树。

重点

查询的时候这么查：

对（n，v）这条边：

如果n，v在一条重边上，就直接查询(id
,id[v])这一段区间即可。

如果你，v不在一条重边上，就尽量向一条重边上靠，查询（id
,id[top
]），n再跳到fa[top
]上，继续做，知道fa[top
]与v在一条重链上，就回到了上一种情况。

这里也有一些细节，因为题中往往给的边都不是按深度给的，所以对于u，v，要注意深度关系，进行交换

好了，这样我们就成功解决了对树上修改查询边权或点的问题。

下面放上代码：

vector<int> v[MAXN];
int size[MAXN],dep[MAXN],val[MAXN],id[MAXN],hson[MAXN],top[MAXN],fa[MAXN];//定义
int edge=1,num=1;
struct tree{
int x,y,z;
void init(){scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);}
}e[MAXN];//起点重点权值
void dfs1(int d,int f,int u){//d：深度 f:父节点 u：当前节点
dep[u]=d;
size[u]=1;
hson[u]=0;
fa[u]=f;
for(vector<int>::iterator it=v[u].begin();it!=v[u].end();it++){
if(*it==f) continue;
dfs1(d+1,u,*it);
size[u]+=size[*it];
if(size[hson[u]]<size[*it])
hson[u]=*it;//找重儿子
}
}
void dfs2(int u,int tp){
top[u]=tp;//赋值top
id[u]=num++;//赋值id
if(hson[u]) dfs2(hson[u],tp);//优先重儿子
for(vector<int>::iterator it=v[u].begin();it!=v[u].end();it++){
if(*it==fa[u]||*it==hson[u]) continue;
dfs2(*it,*it);
}
}

赋值val：节点与父亲的边

for(int i=1;i<n;i++){
if(dep[e[i].x]<dep[e[i].y])
swap(e[i].x, e[i].y);
val[id[e[i].x]] = e[i].z;
}

查询：只要不在一条重链上，（深度大的）就向父节点靠

int find(int u,int v){
int t1=top[u],t2=top[v];
int ans=0;
while(t1!=t2){
if(dep[t1]<dep[t2]){
swap(t1,t2);
swap(u,v);
}
ans=max(query(1,id[t1],id[u]),ans);
u=fa[t1];
t1=top[u];
}
if(u==v) return ans;
if (dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
ans = max(query(1,id[hson[u]], id[v]), ans);
return ans;
}

val就用线段树平衡树维护一下就行了，这里就不附代码。