BZOJ 2759 一道动态树的好题

一道好题的标准：

从常规的知识点中敲击出新火花，但并不是偏题。

不卡常，不卡溢出……

首先看一个弱化的问题，一个固定的nn元nn项模方程怎么求解每个变量。高斯消元？　太慢啦！！　

如果我们把x→pxx \rightarrow p_x 连边，我们可以得到一个基环森林。对于每个联通块，找到环并求出环中某一个变量的值，显然当一个变量的值求出来了，整个联通块就Okay啦。

接下来我们考虑修改操作，考虑到这玩意是个基环森林，一个常见的思路是拆环成树。所以我们考虑用 LCTLCT 来维护一些信息。

但当务之急是如何处理我们忽略掉的那些边！我们让每个联通块的根节点是这种边的某一端点，然后每个根节点记录这条边的另一端点, 我们叫他SpecialFatherSpecial Father。

SplaySplay 中每条树链 (x→yx \rightarrow y ，其中xx 的深度较浅) 维护一个二元组(k , b)：

令：f=x→fa令：f = x\rightarrow fa

y=f×k+by = f\times k + b

就是如何用xx的父亲表示y。（其中根节点的父亲就是那个神奇的SpecialFatherSpecial Father）

那么不难想到如果用将根节点和SpecialFatherSpecial Father的树链调出来，那么就可以求出SpecialFatherSpecial Father　的值啦！

其实SpecialFatherSpecial Father 的存在并不影响所有的 LCTLCT 的操作。但是要注意在修改边的时候，要先删边再加边，这样逻辑更清晰。

几点启发：

1. 任何对父亲或者自身的操作之前，都需要LocateLocate

2. LCTLCT记录的量应该只和点权与树链本身有关，而不应该与此时的根节点有任何联系。

3. 在需要利用根节点信息的时候，我们所有操作都不能makeRootmakeRoot

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 110000;
const int modu = 10007;

struct line
{
int k , b;
line(int k=1 , int b=0):k(k),b(b){}
line operator +(const line& b)
{
line res;
res.k = (k * b.k) % modu;
res.b = (b.b + this->b*b.k) % modu;
return res;
}

int F(int x) { return (k * x + b) % modu; }
};

struct node
{
node *ch[2] , *fa , *sfa;
line sum , num; int c;
void maintain() { sum = ch[0]->sum + num + ch[1]->sum; }
};

node *null = new node();
node pool[maxn];

bool isRoot(node *o) { return o->fa->ch[0] != o && o->fa->ch[1] != o; }

void rotate(node *&o , int d)
{
node *k = o->ch[d^1];

k->fa = o->fa;
k->ch[d]->fa = o;
o->fa = k;

o->ch[d^1] = k->ch[d];
k->ch[d] = o;
o->maintain();
k->maintain();
o = k;
}

void _splay(node* &o)
{
if(o->c != -1)
{
node *&o2 = o->ch[o->c];
if(o2->c != -1)
{
_splay(o2->ch[o2->c]);
if(o->c == o2->c) rotate(o , o->c^1); else rotate(o2 , o2->c^1);;
}
rotate(o , o->c^1);
}
}

void splay(node *o)
{
o->c = -1;
while(!isRoot(o))
{
if(o->fa->ch[0] == o) o->fa->c = 0;
else o->fa->c = 1;

o = o->fa;
}

_splay(o);
}

node* access(node *x)
{
node *y = null;
while(x != null)
{
splay(x);
x->ch[1] = y;
x->maintain();

y = x;
x = x->fa;
}

while(y->ch[0] != null) y = y->ch[0];
return y;
}

int p[maxn] , book[maxn] , cnt;

void dfs(int x)
{
book[x] = cnt;
int f = p[x];
if(book[f] == cnt) pool[x].sfa = pool + f;
else pool[x].fa = pool + f;

if(!book[f]) dfs(f);
}

void locate(node *x) { access(x); splay(x); }

int inv(int x)
{
int res = 1 , n = modu - 2;
while(n)
{
if(n&1) (res *= x) %= modu;
(x *= x) %= modu;
n >>= 1;
}
return res;
}

int query(node *x)
{
node *r = access(x);
node *s = r->sfa;

locate(s);
int k = s->sum.k , b = s->sum.b;
if(k == 1)
{
if(b == 0) return -2;
else return -1;
}

locate(x);
return x->sum.F( ((modu - b)*inv(k+modu-1)) % modu );
}

void modify(node *x , node *fa , line l)
{
locate(x);
x->num = l; x->maintain();

// first lets cut the past edge
node *r = access(x);
if(x == r) x->sfa = null;
else
{
locate(x);
x->ch[0]->fa = null;
x->ch[0] = null; x->maintain();

if(access(r->sfa) != r) locate(r) , r->fa = r->sfa , r->sfa = null;
}

// then build the new one!
// aparently x is a root of some tree
if(access(fa) != access(x)) locate(x) , x->fa = fa;
else locate(x) , x->sfa = fa;
}

int re() { int n; scanf("%d" , &n); return n; }

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in","r",stdin);
#endif

int n;
cin>>n;

for(int i=1 , k , b;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d" , &k , p+i , &b);
pool[i].ch[0] = pool[i].ch[1] = pool[i].fa = pool[i].sfa = null;
pool[i].sum = pool[i].num = line(k , b);
}

for(int i=1;i<=n;i++) if(!book[i]) ++cnt , dfs(i);

int q;
cin>>q;
char op[2];
while(q--)
{
scanf("%s" , op);
if(op[0] == 'A') printf("%d\n" , query(pool + re()));
else
{
int x = re() , k = re() , p = re() , b = re();
modify(pool+x , pool+p , line(k , b));
}
}

return 0;
}