Astar2016-Round1 Problem A(前缀积+乘法逆元+快速幂取余)

FROM：

2016"百度之星" - 资格赛（Astar Round1）
http://bestcoder.hdu.edu.cn/contests/contest_showproblem.php?cid=690&pid=1001
Problem Description

度熊手上有一本字典存储了大量的单词，有一次，他把所有单词组成了一个很长很长的字符串。现在麻烦来了，他忘记了原来的字符串都是什么，神奇的是他竟然记得原来那些字符串的哈希值。一个字符串的哈希值，由以下公式计算得到：（公式略，为连乘求模） 请帮助度熊计算大字符串中任意一段的哈希值是多少。

Input

多组测试数据，每组测试数据第一行是一个正整数NN，代表询问的次数，第二行一个字符串，代表题目中的大字符串，接下来NN行，每行包含两个正整数aa和bb，代表询问的起始位置以及终止位置。

1≤N≤1,000

1≤len(string)≤100,000

1≤a,b≤len(string)

Output

对于每一个询问，输出一个整数值，代表大字符串从 aa 位到 bb 位的子串的哈希值。

Sample Input

Copy

2

ACMlove2015

1 11

8 10

1

testMessage

1 1

Sample Output

6891

9240

88

分析

我AC这题的代码采用的是线段树，但看到别人用的方法更好，这边介绍别人方法。

首先是前缀积：

H[0] = 1;
for(int i = 1 ;i<=len;i++)
{
H[i]=H[i-1]*(Hstr[i-1]-28)%mods;
}

然后是逆元：

为何可以用逆元 http://blog.csdn.net/cqlf__/article/details/7953039 摘取博客部分：

比如: (8/2)%5 我们求a*b*c*d*e*f*g..../z 前面乘积部分LL存不下所以要一边mod一边乘。最后处理到除z时，不一定能除尽。比如前面那个例子，8%5=3，3除不尽2就乘以2%5的逆元在%5

2%5的逆元=2^(5-2)=8 这是计算逆元的一种方法，后面讲。还有一直哦你方法是扩展欧几里德算法也是后面详细讲。

（3*8）%5=4=4%5

===============

在计算(a/b)%Mod时，往往需要先计算b%Mod的逆元p（b有逆元的条件是gcd(b,Mod)==1，显然素数肯定有逆元），然后由(a*p)%Mod得结果c。这里b的逆元p满足(b*p)%Mod=1。先来简单证明一下：

(a/b)%Mod=c; (b*p)%Mod=1; ==》 (a/b)*(b*p) %Mod=c; ==》 (a*p)%Mod=c;

从上面可以看出结论的正确性，当然这里b需要是a的因子。接下来就需要知道根据b和Mod，我们怎么计算逆元p了。扩展欧几里德算法，大家应该都知道，就是已知a、b，求一组解(x,y)使得a*x+b*y=1。这里求得的x即为a%b的逆元，y为b%a的逆元（想想为什么？把方程两边都模上b或a看看）。调用ExtGcd（b,Mod,x,y)，x即为b%Mod的逆元p。

求b%Mod的逆元p还有另外一种方法，即p=b^(Mod-2)%Mod，因为b^(Mod-1)%Mod=1(这里需要Mod为素数)。

逆元详解 http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787
重点(1/a)(mod m)=a^(m-2)。注意要像本题中这样使用逆元，要满足素数条件。

对于a*b*c/(x*y*z)，等于（a*x的逆元）*（b*y的逆元）*（c*z的逆元），求大数组合的时候可以利用这点。

最后是快速幂取模：

原理为：

a为底，b为幂

可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+ p(1)*2 + p(0)

其中p(i) (0<=i<=n)为 0 或 1

这样 a^b = a^ (p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +...+ p(1)*2 + p(0))

= a^(p(n)*2^n) * a^(p(n-1)*2^(n-1)) *...* a^(p(1)*2)*a^p(0)

LL mod_pow(LL x,LL n,LL mod) { // x是底数，n是幂数，mod是取余数
LL res = 1;
x%=mod;
while(n>0){
if(n & 1){
res = res * x % mod;
}
x = x * x % mod;
n>>=1;
}
return res;
}

另一种求逆元方法：http://www.w2bc.com/article/137005

inv[1] = 1;
for (int i = 2; i<MAXN; i++)
inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
int H[MAXN];
char Hstr[MAXN];
int N,l,r;
const int mods = 9973;
typedef long long LL;

//快速幂取余
LL mod_pow(LL x,LL n,LL mod) {
LL res = 1;
//x%=mod;
while(n>0){
if(n & 1){
res = res * x % mod;
}
x = x * x % mod;
n>>=1;
}
return res;
}

int main ()
{
freopen("in.txt","r",stdin);
while(scanf("%d",&N)!=EOF){
scanf("%s",Hstr);
int len =strlen(Hstr);
H[0] = 1;
for(int i = 1 ;i<=len;i++){
H[i]=H[i-1]*(Hstr[i-1]-28)%mods;
}
while(N--){
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%I64d\n",(LL)H[r]*mod_pow(H[l-1],mods-2,mods)%mods);
}
}
}