算法导论之动态规划：最优二叉搜索树

最优二叉搜索树：给定一个n个不同关键字的已排序的序列K=<k1,k2……,kn>(k1<k2<k3……<kn)，用这些关键字构建一颗二叉搜索树。对于每个关键字ki，都有一个概率pi表示其搜索频率。

有些要搜索的值可能不在K中，因此我们还有n+1个“伪关键字”d0,d1……dn表示不在K中的值。d0表示所有小于k1的值，dn表示所有大于kn的值，对已i=1,2……,n-1，伪关键字di表示所有在ki和k(i+1)之间的值。同样对于每个伪关键字di也有一个概率qi表示对应的搜索频率。

关键字和伪关键字的概率和为1，即∑pi+∑qj=1     (1<=i<=n,0<=j<=n)

最优二叉搜索树的期望搜索代价是：

E[T中搜索代价]=∑(depth(ki)+1)*pi + ∑(depth(dj)+1)*qj=1+∑depth(ki)*pi + ∑depth(dj)*qj                          (1<=i<=n,0<=j<=n)

我们也可推算得到一颗期望搜索代价最小的二叉搜索树的递归公式为：

e[i][j]=q(i-1)                                                     若j=i-1

e[i][j]=min{e[i][r-1]+e[r+1][j]+w[i][j]}              若i<=j

其中w[i][j]=∑pl+∑qk=1     (i<=l<=j,i-1<=k<=j)

实现代码如下：

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

float OPTIMAL_BST(float *p,float *q,int n,float e[][n+1],float w[][n+1],int root[][n+1]){
int i=1;
for(;i<=n+1;i++){
e[i][i-1]=q[i-1];
w[i][i-1]=q[i-1];
}
int l=1;
for(;l<=n;l++){
for(i=1;i<=n-l+1;i++){
int j =i+l-1;
e[i][j]=INT_MAX;
w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j];
int r=i;
for(;r<=j;r++){
float t = e[i][r-1]+e[r+1][j]+w[i][j];
if(t<e[i][j]){
e[i][j]=t;
root[i][j]=r;
}
}
}
}
return e[1]
;
}

int main(int argc, char *argv[])
{
float p[]={
0,0.15,0.10,0.05,0.10,0.20
};
float q[]={
0.05,0.10,0.05,0.05,0.05,0.10
};
int n = sizeof(q)/sizeof(int)-1;
float e[n+2][n+1],w[n+2][n+1];
int root[n+1][n+1];
float expect = OPTIMAL_BST(p,q,n,e,w,root);
printf("%0.2f\n",expect);
printf("the follow is e[][]:\n");
int i = 1;
for(;i<n+2;i++){
int j=i-1;
int k=0;
for(;k<j;k++)
printf("\t");
for(;j<n+1;j++)
printf("%0.2f\t",e[i][j]);
printf("\n");
}

printf("the follow is w[][]:\n");
for(i=1;i<n+2;i++){
int j=i-1;
int k=0;
for(;k<j;k++)
printf("\t");
for(;j<n+1;j++)
printf("%0.2f\t",w[i][j]);
printf("\n");
}

printf("the follow is root[][]:\n");
for(i=1;i<n+2;i++){
int j=i;
int k=0;
for(;k<j;k++)
printf("\t");
for(;j<n+1;j++)
printf("%d\t",root[i][j]);
printf("\n");
}
return 0;
}

上面算法的时间复杂度是Ω(n^3)。

为什么最优二叉搜索树不一定是高度最矮的，而且概率高的关键字也不一定出现在二叉搜索树的根节点那？

因为在二叉搜索树中存在一些伪关键字，而这些伪关键字只能排列在叶子节点处，所以对关键字的分布就造成了影响。

如果没有伪关键字，那么肯定是概率高的关键字在根节点，这时候就是哈夫曼树又称最优二叉树。

参考资料：

算法导论


备注：

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作者：WSYW126